BekaBeka001

07.04.2023 20:52 •  Математика

3. (От 6 класса, ) Круговой турнир по швамбранским шахматам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причём все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира? 4. (От 6 класса, ) Одно время были популярны викторины, напоминающие телевизионную игру «Брейн-ринг». В викторине участвует несколько команд, а сама игра состоит из нескольких боёв. Очерёдность вступления команд в игру определяется жеребьёвкой. Сначала между собой играют команды № 1 и № 2. Ничья невозможна, проигравшая команда выбывает, а победитель играет с командой № 3. Проигравшая команда выбывает, победитель встречается с командой № 4 и так далее. Победителем игры является команда, выигравшая последний бой. Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 3?

5. (От 7 класса, ) Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не станет больше либо равна числу 3. Найдите вероятность того, что при последнем броске выпадет больше трёх очков.

6. (От 8 класса, ) У Рассеянного Учёного в лаборатории стоит ящик, в котором 96 болтов с правой резьбой и 5 таких же с виду болтов с левой резьбой. Для создания уникальной установки Учёному потребовалось 4 болта с левой резьбой. Он по очереди вынимает наугад болты из ящика до тех пор, пока ему не попадутся 4 нужных болта. Найдите математическое ожидание числа вынутых к этому моменту болтов.

Задания с развёрнутым ответом

7. ( ) Изучая статистику, Сергей придумал новый метод вычисления среднего арифметического. Сергей рассуждал так. Я в уме легко найду среднее двух чисел. Сначала упорядочу все числа. Затем наименьшее и наибольшее числа заменю их средним арифметическим. Потом заменю второе и предпоследнее по величине числа их средним и так далее. Может быть, у меня останется одно число без пары, но всё равно получится набор, в котором меньше чисел. Я его ещё раз уменьшу таким же образом и рано или поздно дойду до одного числа.

Пусть, например, нужно найти среднее арифметическое набора (9, 2, 6, 5, 8). Упорядочу его: (2, 5, 6, 8, 9). Теперь числа 2 и 9 заменяю их средним 5,5, числа 5 и 8 заменяю их средним 6,5, и остаётся число 6 без пары. Получается набор (5,5, 6, 6,5). Числа 5,5 и 6,5 заменяю их средним 6. Получается набор (6, 6), поэтому среднее арифметическое данного набора равно 6.

а) (От 6 класса) Покажите, что для вычисления среднего арифметического произвольного числового набора этот не годится.

б) (От 7 класса) Друг Сергея Пётр сказал, что Сергея верно работает, если в числовом наборе определённое количество чисел, и неважно, каковы сами числа. Прав ли Пётр? Сколько чисел должно быть в наборе, чтобы Сергея работал верно?

8. (От 7 класса, ) На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Для проверки оборудования инженер взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом. Результаты он записал в блокнот, но некоторые цифры стёрлись, и их невозможно прочитать. Мы перенесли в таблицу всё, что удалось восстановить, а нечитаемые цифры заменили знаком вопроса.

Номер порции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Средняя масса

Масса,г 366 426 38? 438 41? 39? 40? 377 374 423 401

Принято правило: если стандартное отклонение сделанных измерений превосходит 10% номинальной массы порции, то дозирующий автомат требует ремонта. Определите, требует ли ремонта данный автомат.

9. (от 9 класса, ) В квадрате с вершиной A выбирается случайная точка B и закрашивается прямоугольник с диагональю AB, две стороны которого лежат на сторонах квадрата. Рассмотрим событие H «площадь закрашенного прямоугольника больше половины площади квадрата». Докажите, что 0,125< P(H)< 0,172.

​