3. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объем был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось 5/2 ?

Медиана равнобедренного треугольника делит его основание пополам и проходит под прямым углом. Соответственно слева и справа получаются прямоугольные треугольники, для которых она будет катетом.

Допустим треугольник АВС и медиана ВD = 12 см.

Получается сторона AD треугольника ABD = 5 см.

Мы получаем прямоугольный треугольник ABD c катетами BD - 12 см, AD - 5 см.

Чтобы найти гипотенузу АВ используем теорему Пифагора:
AB²=AD²+BD², подставляем числа:
АB²=12²+5²
AB²=144+25
AB²=169
AB=√169
AB=13

Получили сторону AB. поскольку треугольник равнобедренный AB=BC=12

Периметр равнобедренного треугольника - сумма всех сторон
P(ABC)=2AB+AC
P(ABC)=2х12+10
P(ABC)=34

Если трапецию вращать вокруг меньшего основания,  получится следующее тело вращения: цилиндр, у которого нет снизу и сверху конусика.
объем тела:
V(тела вращения) =V(цилиндра) -2*V(конусиков)
объем цилинра=pi*R*R*H
объем конуса=(1/3)*pi*R*R*H
V(тела вращения) =pi*R*R*H - (2/3)*pi*R*R*H
так... пусть изначально у нас была трапеция ABCD.AB=2, DC=3..из точки А опустим высоту на CD...назовем  ее AH..угол ADC=60 градусов угол DAH будет 30..т. е. получается, что DH=1/2 AD...DH=0.5...тогда AD=1...по теореме Пифагора AH=корень из 3 пополам... AH=R=(3^1/2)/2
V(тела вращения) =pi*3/4*4 - (2/3)*pi*(3/4)*0.5=2.75 *pi