4. исследовать функцию с производной и построить график функции f(x) = 2x^3 + 3x^2

ДАНО F = 2*x³ + 3*x²

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. F= x²*(2*x+3). Корни: х₁,₂ = 0,  х₃ = -1,5. 

3. Пересечение с осью У.  F(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.F(-x)= - 2*x³ + 3*x² ≠ -F(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 6*x² + 6*х = 6*х*(х +1)=  0   . 

Корни: х₁=0 , х₂ = -1. 

Схема знаков производной.

_ (-∞)__(>0)__(x1=-1)___(<0)___(x2=0)__(<0)_____(+∞)__

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(-1)= 1, минимум – Ymin(0)=0. 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;-1)∪(0;+∞) , убывает = Х∈[-1;0]. 

8. Вторая производная - Y"(x) = 12*x+6 = 6*(2x - 1)=0. 

Корень производной - точка перегиба  x = 0.5. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;0.5), Вогнутая – «ложка» Х∈(0.5;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  

k=lim(oo)F(x)/x = ∞. Наклонной асимптоты - нет

12. График в приложении.