4) Кулі розміщені у формі трикутника так, що в першому ряду - 1 куля, у другому - 2, у тре- Тьому - 3 тощо (див. рис.). У скільки рядів роз- міщені кулі, якщо їхня кількість дорівнює 120? Скільки потрібно куль, щоб скласти трикутник із 30 рядів?
Первая линия - график кв. параболы касающейся оси х в точке 3, т.к.
D=36-36=0
x=6/2=3
Вторая линия - прямая, пересекающая ось Х в точке 3, тк.
3х-9=0 x=3 и ось у в точке -9, т.к. у=3*0-9=-9
Точки пересечения двух этих линий вычисляются так:
приравниваем оба уравнения
x^2-6x+9=3x-9
решаем относительно х:
x^2-6x+9-3x+9=0
x^2-9x+18=0
D=81-18*4=9
x1=(9+3)/2=6
x2=(9-3)/2=3
Линии, пересекаясь, образуют фигуру закрашенную на рисунке красным цветом. Чтоб найти ее площадь нужно из площади треугольника под прямой вычесть площадь под параболой, закрашенную желтым.
Эта площадь равна опр..интегралу в пределах (3,6) от
1) Объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту. Так ка пирамида правильная, то в основании - квадрат, его площадь 6х6=36. Так как боковое ребро образует с основанием угол 45, это угол между ребром пирамиды и диагональю основания, а значит высота пирамиды образует с этим же ребром угол 45. Рассматриваем прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны половине диагонали основания, т.е. 3корня из2. Тогда объем пирамиды V=1/3 умножить на 36 и умножить на 3корня из2 или 36 корней из2.
ответ: 36 корней из2.
2) Формула объёма та же. Площадь основания - это площадь правильного треугольника, она равна 4 корня из 3. Высота пирамиды опущена в точку, являющуюся точкой пересечения медиан ( высот) правильного треугольника. Эта точка делит высоту (медиану) треугольника основания в отношении 2:1, считая от вершины. В итоге получаем прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и высотой основания. В этом треугольнике нам известны угол 60 градусов и прилежащий катет ( это 2/3 высоты основания, т.е. 4 корня из 3 деленное на 3). Воспользуемся определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника: отношение противолежащео катета к прилежащему катету и находим высоту пирамиды из пропорции х:4 корня из 3 деленное на 3 = tg 60 или х=4 корня из 3 деленное на 3умножить на корень из 3, получаем х=4. Теперь находим объем: 1/3 умножить на 4 корня из 3 и умножить на 4 = 16 корней из 3 деленные на 3.
y=x^2-6x+9
y=3x-9
Первая линия - график кв. параболы касающейся оси х в точке 3, т.к.
D=36-36=0
x=6/2=3
Вторая линия - прямая, пересекающая ось Х в точке 3, тк.
3х-9=0 x=3 и ось у в точке -9, т.к. у=3*0-9=-9
Точки пересечения двух этих линий вычисляются так:
приравниваем оба уравнения
x^2-6x+9=3x-9
решаем относительно х:
x^2-6x+9-3x+9=0
x^2-9x+18=0
D=81-18*4=9
x1=(9+3)/2=6
x2=(9-3)/2=3
Линии, пересекаясь, образуют фигуру закрашенную на рисунке красным цветом. Чтоб найти ее площадь нужно из площади треугольника под прямой вычесть площадь под параболой, закрашенную желтым.
Эта площадь равна опр..интегралу в пределах (3,6) от
y=x^2-6x+9
интеграл будет 1/3x^3-3x^2+9x
в точке 6 он равен 72-108+54=18
в точке 3 он равен 9-27+27=9
Разность составляет 9
Значение функций в точке 6 равно 3*6-9=9
Площадь треугольника 9*3/2=13,5
Площадь искомой фигуры:
13,5-9=4,5
ответ 4,5
1) Объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту. Так ка пирамида правильная, то в основании - квадрат, его площадь 6х6=36. Так как боковое ребро образует с основанием угол 45, это угол между ребром пирамиды и диагональю основания, а значит высота пирамиды образует с этим же ребром угол 45. Рассматриваем прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны половине диагонали основания, т.е. 3корня из2. Тогда объем пирамиды V=1/3 умножить на 36 и умножить на 3корня из2 или 36 корней из2.
ответ: 36 корней из2.
2) Формула объёма та же. Площадь основания - это площадь правильного треугольника, она равна 4 корня из 3. Высота пирамиды опущена в точку, являющуюся точкой пересечения медиан ( высот) правильного треугольника. Эта точка делит высоту (медиану) треугольника основания в отношении 2:1, считая от вершины. В итоге получаем прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и высотой основания. В этом треугольнике нам известны угол 60 градусов и прилежащий катет ( это 2/3 высоты основания, т.е. 4 корня из 3 деленное на 3). Воспользуемся определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника: отношение противолежащео катета к прилежащему катету и находим высоту пирамиды из пропорции х:4 корня из 3 деленное на 3 = tg 60 или х=4 корня из 3 деленное на 3умножить на корень из 3, получаем х=4. Теперь находим объем: 1/3 умножить на 4 корня из 3 и умножить на 4 = 16 корней из 3 деленные на 3.
ответ: 16 корней из 3 деленные на 3.