Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.
Как я поняла, у тебя есть две дроби: 4/5 и 4/2. Надо, чтобы у них был одинаковый знаменатель. Получается, что новый знаменатель должен делиться на знаменатель 1-ой дроби( получается на 5) и на знам. 2-ой дроби (получается на 2). Самый наименьший общий знаменатель у этих дробей - это 10. 10 делится на 5 и на 2. 10 : 5=2 ; 10 : 2=5. Дополнительное число у первой дроби - это 2, у второй дроби 5. Дальше мы умножаем числитель первой дроби (число 4) на доп. число 2. Получается новый числитель 8. Потом мы умножаем числитель второй дроби (тоже число 4) на доп. число 5. Получается новый числитель второй дроби - 20. У нас получились две новые дроби с одинаковыми знаменателями - это 8/10 и 20/10.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.