1) ▪Пусть - а сторона квадрата. ▪Найдем 30% от а - (0,3а) ▪Увеличим сторону квадрата на 30%: (а + 0,3а=1,3а) ▪Площадь квадрата: S(кв.) = а^2 ▪Площадь новового квадрата S= (1,3а)^2 = 1,69а^2 ▪S - S(кв.) = 1,69а^2 - а^2 = 0,69а^2 ▪что составляет 0,69 = 69% ▪ответ: Если сторону квадрата увеличить на 30%, тогда площадь увеличиться на 69%.
2) ▪Пусть - а сторона квадрата. ▪Найдем 10% от а - (0,1а) ▪Уменьшим сторону квадрата на 10%: (а - 0,1а=0,9а) ▪Площадь квадрата: S(кв.) = а^2 ▪Площадь уменьшенного квадрата S= (0,9а)^2 = 0,81а^2 ▪ S(кв.) - S = а^2 - 0,81а^2 = 0,19а^2 ▪что составляет: 0,19 = 19% ▪ответ: Если сторону квадрата уменьшить на 10%, тогда площадь уменьшиться на 19%.
1566. ▪Пусть а - длинна прямоугольника, b - ширина прямоугольника. ▪Найдем: 15% от а = 0,15а 20% от b = 0,2b ▪Если длинну уменьшить на 15%: а - 15% = а - 0,15а = 0,85а ▪Если ширину увеличить на 20%: b + 20% = b + 0,2b = 1,2b ▪Площадь прямоугольника: S(1) = аb ▪Площадь новового прямоугольника: S(2) = аb = 0,85а × 1,2b = 1,02ab ▪S(2) - S(1) = 1,02ab - ab = 0,02аb ▪что составляет 0,02 = 2% ответ: Площадь прямоугольника изменится на 2%
При каком значении параметра a пара уравнений равносильна?
1) ax−a+3−x=0;
2) ax−a−3−x=0.
равносильна - значит множества корней уравнений совпадают
первое:
ax-a+3-x=0
ax-x=a-3
(a-1)x=a-3
второе:
ax−a−3−x=0
ax−x=a+3
(a-1)x=a+3
если а=1, то оба уравнения не имеют корней: получим уравнение 0х=b, где b не ноль
если а<>1, то первое уравнение имеет корень (a-3)/(а-1), а второе (a+3)/(а-1). эти корни ни при каких а не совпадут
ответ: 1
Задание № 3:
Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение: 3x+4y=30?
чтобы было побыстрее заметим, что 4у должно делиться на 3
у=0: 3х=30; х=10 - ПОДХОДИТ
у=3: 3х+12=30; 3х=18; х=6 - ПОДХОДИТ
у=6: 3х+24=30; 3х=6; х=2 - ПОДХОДИТ
у=9: 3х+36=30; 3х=-6; х=-2 - НЕ ПОДХОДИТ (-2 не целое неотрицательное)
дальнейшие решения для х будет еще меньше
всего три решения
ответ: 3
Задание № 4:
В двух корзинах 79 яблок, причём 7/9 первой корзины составляют зелёные яблоки, а 9/17 второй корзины - красные яблоки. Сколько красных яблок во второй корзине?
получаем, что яблок в первой корзине делится на 9, а число яблок во второй корзине делится на 17
9х+17у=79
х=1: 9+17у=79; 17у=70; у не целое
х=2: 18+17у=79; 17у=61; у не целое
х=3: 27+17у=79; 17у=52; у не целое
х=4: 36+17у=79; 17у=43; у не целое
х=5: 45+17у=79; 17у=34; у=2
х=6: 54+17у=79; 17у=25; у не целое
х=7: 63+17у=79; 17у=16; у<1
значит в первой корзине 9*5=45 яблок, во второй - 17*2=34, (9/17)*34=18 красных яблок
ответ: 18
Задание № 5:
Периметр равнобедренного треугольника 20 см. Одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите основание равнобедренного треугольника. Дайте ответ в сантиметрах.
если боковая сторона х, а основание 2х, то не выполняется неравенство треугольника (основание есть две боковые стороны)
значит основание х, боковая сторона 2х
х+2х+2х=20
5х=20
х=4
ответ: 4
Задание № 6:
В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 2 красных или 2 жёлтых карандаша?
худший случай: сначала вытащили все карандаши других цветов (7 зеленых + 8 синих = 15), затем по одному из подходящих цветов (1 красный + 1 желтый = 2), потом второй подходящего цвета
итого: 15+2+1=18
ответ: 18
Задание № 7:
Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 10 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 2 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?
надо найти, как часто встречался бы встречный автобус, если этот автобус затормозил
наша скорость х
скорость встречного 2х
общая скорость 3х
при общей скорости 3х интервал времени 10 минут: L=3х*10
если наш автобус встал, то общая скорость равна скорости встречного 2х
при общей скорости 2х интервал времени = L/2x=3х*10/2x=15 минут
значит и в поселок автобус приходит каждые 15 минут, то есть 60мин/15мин = 4 автобуса в час
▪Пусть - а сторона квадрата.
▪Найдем 30% от а - (0,3а)
▪Увеличим сторону квадрата на 30%:
(а + 0,3а=1,3а)
▪Площадь квадрата: S(кв.) = а^2
▪Площадь новового квадрата S= (1,3а)^2 = 1,69а^2
▪S - S(кв.) = 1,69а^2 - а^2 = 0,69а^2
▪что составляет 0,69 = 69%
▪ответ: Если сторону квадрата увеличить на 30%, тогда площадь увеличиться на 69%.
2)
▪Пусть - а сторона квадрата.
▪Найдем 10% от а - (0,1а)
▪Уменьшим сторону квадрата на 10%:
(а - 0,1а=0,9а)
▪Площадь квадрата: S(кв.) = а^2
▪Площадь уменьшенного квадрата S= (0,9а)^2 = 0,81а^2
▪ S(кв.) - S = а^2 - 0,81а^2 = 0,19а^2
▪что составляет: 0,19 = 19%
▪ответ: Если сторону квадрата уменьшить на 10%, тогда площадь уменьшиться на 19%.
1566.
▪Пусть а - длинна прямоугольника, b - ширина прямоугольника.
▪Найдем:
15% от а = 0,15а
20% от b = 0,2b
▪Если длинну уменьшить на 15%:
а - 15% = а - 0,15а = 0,85а
▪Если ширину увеличить на 20%:
b + 20% = b + 0,2b = 1,2b
▪Площадь прямоугольника:
S(1) = аb
▪Площадь новового прямоугольника:
S(2) = аb = 0,85а × 1,2b = 1,02ab
▪S(2) - S(1) = 1,02ab - ab = 0,02аb
▪что составляет 0,02 = 2%
ответ: Площадь прямоугольника изменится на 2%
Задание № 1:
Сколько цифр в записи значения произведения пятой степени числа 8 и семнадцатой степени числа 5?
8^5*5^17=(2^3)^5*5^17=2^15*5^17=2^15*5^15*5^2=10^15*25=25*10^15
проще говоря, 25 и еще 15 нулей или 17 цифр
ответ: 17
Задание № 2:
При каком значении параметра a пара уравнений равносильна?
1) ax−a+3−x=0;
2) ax−a−3−x=0.
равносильна - значит множества корней уравнений совпадают
первое:
ax-a+3-x=0
ax-x=a-3
(a-1)x=a-3
второе:
ax−a−3−x=0
ax−x=a+3
(a-1)x=a+3
если а=1, то оба уравнения не имеют корней: получим уравнение 0х=b, где b не ноль
если а<>1, то первое уравнение имеет корень (a-3)/(а-1), а второе (a+3)/(а-1). эти корни ни при каких а не совпадут
ответ: 1
Задание № 3:
Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение: 3x+4y=30?
чтобы было побыстрее заметим, что 4у должно делиться на 3
у=0: 3х=30; х=10 - ПОДХОДИТ
у=3: 3х+12=30; 3х=18; х=6 - ПОДХОДИТ
у=6: 3х+24=30; 3х=6; х=2 - ПОДХОДИТ
у=9: 3х+36=30; 3х=-6; х=-2 - НЕ ПОДХОДИТ (-2 не целое неотрицательное)
дальнейшие решения для х будет еще меньше
всего три решения
ответ: 3
Задание № 4:
В двух корзинах 79 яблок, причём 7/9 первой корзины составляют зелёные яблоки, а 9/17 второй корзины - красные яблоки. Сколько красных яблок во второй корзине?
получаем, что яблок в первой корзине делится на 9, а число яблок во второй корзине делится на 17
9х+17у=79
х=1: 9+17у=79; 17у=70; у не целое
х=2: 18+17у=79; 17у=61; у не целое
х=3: 27+17у=79; 17у=52; у не целое
х=4: 36+17у=79; 17у=43; у не целое
х=5: 45+17у=79; 17у=34; у=2
х=6: 54+17у=79; 17у=25; у не целое
х=7: 63+17у=79; 17у=16; у<1
значит в первой корзине 9*5=45 яблок, во второй - 17*2=34, (9/17)*34=18 красных яблок
ответ: 18
Задание № 5:
Периметр равнобедренного треугольника 20 см. Одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите основание равнобедренного треугольника. Дайте ответ в сантиметрах.
если боковая сторона х, а основание 2х, то не выполняется неравенство треугольника (основание есть две боковые стороны)
значит основание х, боковая сторона 2х
х+2х+2х=20
5х=20
х=4
ответ: 4
Задание № 6:
В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 2 красных или 2 жёлтых карандаша?
худший случай: сначала вытащили все карандаши других цветов (7 зеленых + 8 синих = 15), затем по одному из подходящих цветов (1 красный + 1 желтый = 2), потом второй подходящего цвета
итого: 15+2+1=18
ответ: 18
Задание № 7:
Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 10 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 2 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?
надо найти, как часто встречался бы встречный автобус, если этот автобус затормозил
наша скорость х
скорость встречного 2х
общая скорость 3х
при общей скорости 3х интервал времени 10 минут: L=3х*10
если наш автобус встал, то общая скорость равна скорости встречного 2х
при общей скорости 2х интервал времени = L/2x=3х*10/2x=15 минут
значит и в поселок автобус приходит каждые 15 минут, то есть 60мин/15мин = 4 автобуса в час
ответ: 4