а) Сумма чисел о 1 до 2018 равна 2019·2018÷2=2019·1009=2037171-число нечётное. При замене некоторых знаков “ + “ на “ - “ чётность не изменится. Значит данное число не будет делится на числа 136, 154, 120, 104, 140, 42
Деление на 15 возможно. Например,
1+2-3+4+5+6+7+8+...+2018=2037165=135811·15
б) Вот с этим заданием не всё понятно. Про какие числа идёт речь. Про те же что и в задании а)? Тогда решение такое же, так как сумма чисел от 1 до 6054 равна 6055·3027=18328485. И деление возможно только на 15. Например, 1+2+3+4+5+6+7+8+...+6054=18328485=1221899·15
1) Рассмотрим квадрат. Пусть в его вершинах стоят числа (см.рис.)
Для любого такого квадрата введем величину: . Видно, что она постоянна при указанных действиях (добавление 1 к числам на ребре).
2) Очевидно, что последовательность действий не влияет на конечный результат. Поэтому пусть сначала действия производятся внутри верхних и нижних квадратов, а затем на ребрах (в данном случае вертикальных), которые эти квадраты соединяют. Пусть нам удалось получить куб с 8 равными числами. Пусть были сделаны все действия в квадратах. Тогда числа на вертикальных ребрах равны — иначе их не уравнять (мы сохраняем разность чисел). Если все числа на ребрах равны, то достаточно просто применить нужное количество операций к этим ребрам, чтобы получить все равные числа. Итак, наша задача имеет решение тогда и только тогда, когда один квадрат возможно перевести в другой. А эта задача, в свою очередь, имеет решение тогда и только тогда, когда величина для них совпадает.
3) Рассматриваем первый куб: верхний квадрат: , нижний , — задача решения не имеет.
Второй: верхний квадрат , нижний — ; — задача имеет решение. Привести пример просто. Вот на словах: применяем операцию к ребру (-2, 0) и (0, -2). Имеем два равных квадрата. Дальше очевидно.
Третий: сумма чисел нечетна, сразу можно сказать нет.
Четвертый: применяем операцию к ребру под ребром (1, 1). Два равных квадрата. Дальше очевидно.
Пятый: , . Так что можно. Операция проста: производим действие над ребром (1, 2) 5 раз, над ребром (4, 3) один раз.
Пошаговое объяснение:
а) Сумма чисел о 1 до 2018 равна 2019·2018÷2=2019·1009=2037171-число нечётное. При замене некоторых знаков “ + “ на “ - “ чётность не изменится. Значит данное число не будет делится на числа 136, 154, 120, 104, 140, 42
Деление на 15 возможно. Например,
1+2-3+4+5+6+7+8+...+2018=2037165=135811·15
б) Вот с этим заданием не всё понятно. Про какие числа идёт речь. Про те же что и в задании а)? Тогда решение такое же, так как сумма чисел от 1 до 6054 равна 6055·3027=18328485. И деление возможно только на 15. Например, 1+2+3+4+5+6+7+8+...+6054=18328485=1221899·15
1) Рассмотрим квадрат. Пусть в его вершинах стоят числа
(см.рис.)
Для любого такого квадрата введем величину:
. Видно, что она постоянна при указанных действиях (добавление 1 к числам на ребре).
2) Очевидно, что последовательность действий не влияет на конечный результат. Поэтому пусть сначала действия производятся внутри верхних и нижних квадратов, а затем на ребрах (в данном случае вертикальных), которые эти квадраты соединяют. Пусть нам удалось получить куб с 8 равными числами. Пусть были сделаны все действия в квадратах. Тогда числа на вертикальных ребрах равны — иначе их не уравнять (мы сохраняем разность чисел). Если все числа на ребрах равны, то достаточно просто применить нужное количество операций к этим ребрам, чтобы получить все равные числа. Итак, наша задача имеет решение тогда и только тогда, когда один квадрат возможно перевести в другой. А эта задача, в свою очередь, имеет решение тогда и только тогда, когда величина
для них совпадает.
3) Рассматриваем первый куб: верхний квадрат:
, нижний 
, 
— задача решения не имеет.
Второй: верхний квадрат
, нижний — 
; 
— задача имеет решение. Привести пример просто. Вот на словах: применяем операцию к ребру (-2, 0) и (0, -2). Имеем два равных квадрата. Дальше очевидно.
Третий: сумма чисел нечетна, сразу можно сказать нет.
Четвертый: применяем операцию к ребру под ребром (1, 1). Два равных квадрата. Дальше очевидно.
Пятый:
, 
. Так что можно. Операция проста: производим действие над ребром (1, 2) 5 раз, над ребром (4, 3) один раз.