Область определения 4 + sin^2 x >= 0 - выполнено при любом х a - cos x >= 0 - потому что корень арифметический, т.е. неотрицательный. cos x <= a Если a < -1, то решений нет, потому что cos x >= -1 при любом х Если a > 1, то выполнено при любом х, потому что cos x <= 1 Если -1 <= a <= 1, то начинаются ограничения, надо проверять.
Решаем уравнение. √(4 + sin^2 x) = a - cos x Возводим в квадрат 4 + sin^2 x = (a - cos x)^2 = a^2 - 2a*cos x + cos^2 x 4 + 1 - cos^2 x = a^2 - 2a*cos x + cos^2 x 2cos^2 x - 2a*cos x + a^2 - 5 = 0 Квадратное уравнение относительно cos x D/4 = a^2 - 2(a^2 - 5) = 10 - a^2
Если a^2 > 10, то есть a < -√10 U a > √10, то решений нет. Значит, нас интересует только -1 <= a <= √10 cos x1 = (a - √(10 - a^2))/2 cos x2 = (a + √(10 - a^2))/2 Смотрим нужный промежуток cos 3pi/4 = -√2/2; cos pi = -1 Нам нужно найти, при каких а выполняется 2 системы неравенств: 1) { (a - √(10 - a^2))/2 >= -1 { (a - √(10 - a^2))/2 <= -√2/2 { -1 <= a <= √10 Умножаем на 2 и выделяем корень { √(10 - a^2) <= a + 2 { √(10 - a^2) >= a + √2 { -1 <= a <= √10 Возводим в квадрат { 10 - a^2 <= a^2 + 4a + 4 { 10 - a^2 >= a^2 + 2a√2 + 2 { -1 <= a <= √10 Два квадратных неравенства. Делим все на 2 { a^2 + 2a - 3 >= 0 { a^2 + a√2 - 4 <= 0 { -1 <= a <= √10 Решаем { D/4 = 1^2 + 3 = 4 = 2^2 { D = 2 + 4*4 = 18 = (3√2)^2 { -1 <= a <= √10 Раскладываем на скобки { (a + 3)(a - 1) >= 0 { (a - √2)(a + 2√2) <= 0 { -1 <= a <= √10 По методу интервалов { a <= -3 U a >= 1 { -2√2 <= a <= √2 { -1 <= a <= √10 Решение: 1 <= a <= √2
2) { (a + √(10 - a^2))/2 >= -1 { (a + √(10 - a^2))/2 <= -√2/2 Решается точно также.
4 + sin^2 x >= 0 - выполнено при любом х
a - cos x >= 0 - потому что корень арифметический, т.е. неотрицательный.
cos x <= a
Если a < -1, то решений нет, потому что cos x >= -1 при любом х
Если a > 1, то выполнено при любом х, потому что cos x <= 1
Если -1 <= a <= 1, то начинаются ограничения, надо проверять.
Решаем уравнение.
√(4 + sin^2 x) = a - cos x
Возводим в квадрат
4 + sin^2 x = (a - cos x)^2 = a^2 - 2a*cos x + cos^2 x
4 + 1 - cos^2 x = a^2 - 2a*cos x + cos^2 x
2cos^2 x - 2a*cos x + a^2 - 5 = 0
Квадратное уравнение относительно cos x
D/4 = a^2 - 2(a^2 - 5) = 10 - a^2
Если a^2 > 10, то есть a < -√10 U a > √10, то решений нет.
Значит, нас интересует только -1 <= a <= √10
cos x1 = (a - √(10 - a^2))/2
cos x2 = (a + √(10 - a^2))/2
Смотрим нужный промежуток
cos 3pi/4 = -√2/2; cos pi = -1
Нам нужно найти, при каких а выполняется 2 системы неравенств:
1)
{ (a - √(10 - a^2))/2 >= -1
{ (a - √(10 - a^2))/2 <= -√2/2
{ -1 <= a <= √10
Умножаем на 2 и выделяем корень
{ √(10 - a^2) <= a + 2
{ √(10 - a^2) >= a + √2
{ -1 <= a <= √10
Возводим в квадрат
{ 10 - a^2 <= a^2 + 4a + 4
{ 10 - a^2 >= a^2 + 2a√2 + 2
{ -1 <= a <= √10
Два квадратных неравенства. Делим все на 2
{ a^2 + 2a - 3 >= 0
{ a^2 + a√2 - 4 <= 0
{ -1 <= a <= √10
Решаем
{ D/4 = 1^2 + 3 = 4 = 2^2
{ D = 2 + 4*4 = 18 = (3√2)^2
{ -1 <= a <= √10
Раскладываем на скобки
{ (a + 3)(a - 1) >= 0
{ (a - √2)(a + 2√2) <= 0
{ -1 <= a <= √10
По методу интервалов
{ a <= -3 U a >= 1
{ -2√2 <= a <= √2
{ -1 <= a <= √10
Решение: 1 <= a <= √2
2)
{ (a + √(10 - a^2))/2 >= -1
{ (a + √(10 - a^2))/2 <= -√2/2
Решается точно также.
1.
4,2 > 4,196
0,448 < 0,45
2.
84,37-32,683-(3,56+4,444) = 42,683 (см. полное решение в прикрепленном файле)
300-(6,56-3,568+193) = 104,008 (полное решение в прикрепленном файле)
3.
1) 39,1-36,5 = 2,6 (км/ч) - скорость течения.
2) 36,5-2,6 = 33,9 (км/ч) - скорость катера против течения.
4.
Округлите до десятых.
8,96≈7
3,05≈3,1
4,64≈4,6
Округлите до сотых.
3,052≈3,05
4,025≈4,03
7,086≈7,09
Округлите до единиц.
657,29≈657
538,71≈539
5.
Пусть х - цена одной елочной игрушки.
Покупатель приобрел 3 елочных игрушки и получил сдачу в 50 р.
Т.е. 3х+50 - все деньги покупателя.
Если бы покупатель купил 5 елочных игрушек, то ему пришлось бы добавить 50р.
Т.е. 5х-50 - это тоже все деньги покупателя.
Приравниваем два выражения. Решаем получившееся уравнение.
3х+50 = 5х-50
50+50 = 5х-3х
100 = 2х
х=100:2
х=50
ответ: 50 рублей стоит одна елочная игрушка.