Выражение можно переписать так: (17^n-4^n)-(81^n-16^n) Достаточно доказать, что выражения в скобках делятся на 13. Докажем следующее утверждение: Если (а-b) делится на m, то и (a^n-b^n) делится на м. Для n=1 это очевидно. Пусть это верно для n=p, покажем, что это верно для n=p+1. В самом деле: D=(а^(p+1)-b^(p+1))=a^(p)*a-b^(p)*b. Но а=k*m+b для некоторого k D=b*a^p+k*m*a^p-b*b^p=b*(a^p-b^p)+k*m Оба слагаемых на m делятся, что и доказывает наше утверждение. В исходном выражении два слагаемых делятся на 13 так как 17-4=13 и 81-16=13*5. Утверждение доказано.
Достаточно доказать, что выражения в скобках делятся на 13.
Докажем следующее утверждение: Если (а-b) делится на m, то и (a^n-b^n) делится на м. Для n=1 это очевидно. Пусть это верно для n=p,
покажем, что это верно для n=p+1.
В самом деле: D=(а^(p+1)-b^(p+1))=a^(p)*a-b^(p)*b.
Но а=k*m+b для некоторого k
D=b*a^p+k*m*a^p-b*b^p=b*(a^p-b^p)+k*m
Оба слагаемых на m делятся, что и доказывает наше утверждение.
В исходном выражении два слагаемых делятся на 13 так как
17-4=13 и 81-16=13*5.
Утверждение доказано.
Сперва скобка большая, решаем в ней то что в скобках; умножить можно сразу на то что после скобок, чтоб меньше путаться, тут не изменит ничего.
1)) (32/57+ 27/38)= (32•2)/(57•2)+ (27•3)/38•3)= 64/114+ 81/114= 145/114;
2)) 145/114• 19/29= 5/6• 1/1=5/6;
(Сократили, значит поделили 145 т 29 на 29; 114 и 19 на 19);
3)) (25/26 + 48/65)= (25•5)/(26•5) + (48•2)/(65•2)= 125/130 + 96/130= 221/130;
4)) 221/130• 10/51= 13/13• 1/3= 1/1• 1/3= 1/3.
(Сократили 221 и 51 на 17; 130и 10 на 10; 13/13 сократились);
5)) (74/75 + 49/50)= (74•2)/(75•2)+ (49•3)/(50•3)= 148/150+ 147/150= 295/150;
6)) 295/150• 15/59= 5/10• 1/1= 1/2;
(Сократили 150 и 15 на 15; 295 и 59 на 59; 5/10 на 5);
Теперь все сложить в большой скобке (2)+ (4)+ (6)действия;
7)) 5/6+ 1/3+ 1/2= 5/6+ (1•2)/(3•2)+ (1•3)/(2•3)= 5/6+ 2/6+ 3/6= 10/6;
8))10/6 • 3/5+ 2/2• 1/1= 1;
(Сократили 10 и 5 на 5; 6 и 3 на 3; 2/2 сократились=1);
ответ: равно 1.