Найдём уравнение прямой М1М2, проходящей через точку М1(-5;-15;-6) с направляющим вектором s = (0; 5; 2).
(x + 5)/0 = (y + 15)/5 = (z+ 6)/2 = t.
Уравнение М1М2 представим в параметрическом виде.
x = 0t - 5,
y = 5t - 15,
z = 2t - 6.
И подставим в уравнение плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.
-35 - 15t + 45 + 10t - 30 - 10 = 0.
-5t - 30 = 0
t = -30/-5 = 6.
Получаем координаты точки М2 пересечения прямой М1М2 с плоскостью Р.
x = 0*6 - 5 = -5,
y = 5*6 - 15 = 15,
z = 2*6 - 6 = 6.
Точка М2(-5; 15; 6).
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-5;-15; -6), М2(-5; 15; 6) перпендикулярно плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.
Так как M1 ∈ Р, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x+5)+B(y+15)+C(z+6)=0.
Далее, так как M2 ∈ Р, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство: A(-5+5)+B(15+15)+C(6+6)=0
0A + 30В + 12C = 0 или 30В + 12C = 0. Отсюда С = (-30/12)В = (-5/2)B.
Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.
Выразим коэффициенты A и С через В:
Составим систему уравнений:
{ A + B + C = 0. { A + B + C = 0.
{A + 30В +12(-5/2)В = 0. {A + 30В - 30В = 0, A = 0.
A = 0, С = (-5/2)B и подставим их в исходное уравнение:
A(x+5) + B(y+15) + C(z+6) = 0.
0 + B(y+15) + (-5/2)B(z+6 )= 0, сократим на В:
y + 15 + (-5/2)z - 15 = 0, приведём к общему знаменателю:
2y + 30 - 5z - 30 = 0.
Окончательно получаем уравнение плоскости Р1: 2y - 5z = 0.
Расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости P1:Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле
d = ∣Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²).
Подставляем:
d = |0*5 + 2*14 + (-5)*3|/√(0² + 2² + (-5)²) = 7/√29 ≈ 1,3.
20 лет
Пошаговое объяснение:
Пусть сейчас у одного брата Х лет, а у другого У лет. Тогда сумма их возраста равна Х + У.
По условию через 10 лет сумма их возраста будет 40. Но, через 10 лет будет у одного брата Х+10 лет и у другого У+10 лет. Тогда
Х+10+У+10=40 или Х+У=20.
Значит сегодня сумма их возраста равна 20.
В задаче спрашивается, через сколько лет сумма их возраста будет в три раза больше чем сегодня, то есть 20·3=60.
Пусть через А лет сумма их возраста будет в три раза больше чем сегодня. Тогда
Х+А+У+А=60 или 2·А=60-(Х+У) или 2·А=60-20 или 2·А=40. Отсюда А=20.
Найдём уравнение прямой М1М2, проходящей через точку М1(-5;-15;-6) с направляющим вектором s = (0; 5; 2).
(x + 5)/0 = (y + 15)/5 = (z+ 6)/2 = t.
Уравнение М1М2 представим в параметрическом виде.
x = 0t - 5,
y = 5t - 15,
z = 2t - 6.
И подставим в уравнение плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.
-35 - 15t + 45 + 10t - 30 - 10 = 0.
-5t - 30 = 0
t = -30/-5 = 6.
Получаем координаты точки М2 пересечения прямой М1М2 с плоскостью Р.
x = 0*6 - 5 = -5,
y = 5*6 - 15 = 15,
z = 2*6 - 6 = 6.
Точка М2(-5; 15; 6).
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-5;-15; -6), М2(-5; 15; 6) перпендикулярно плоскости Р: 7x-3y+5z-10=0.
Так как M1 ∈ Р, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x+5)+B(y+15)+C(z+6)=0.
Далее, так как M2 ∈ Р, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство: A(-5+5)+B(15+15)+C(6+6)=0
0A + 30В + 12C = 0 или 30В + 12C = 0. Отсюда С = (-30/12)В = (-5/2)B.
Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.
Выразим коэффициенты A и С через В:
Составим систему уравнений:
{ A + B + C = 0. { A + B + C = 0.
{A + 30В +12(-5/2)В = 0. {A + 30В - 30В = 0, A = 0.
A = 0, С = (-5/2)B и подставим их в исходное уравнение:
A(x+5) + B(y+15) + C(z+6) = 0.
0 + B(y+15) + (-5/2)B(z+6 )= 0, сократим на В:
y + 15 + (-5/2)z - 15 = 0, приведём к общему знаменателю:
2y + 30 - 5z - 30 = 0.
Окончательно получаем уравнение плоскости Р1: 2y - 5z = 0.
Расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости P1:Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле
d = ∣Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²).
Подставляем:
d = |0*5 + 2*14 + (-5)*3|/√(0² + 2² + (-5)²) = 7/√29 ≈ 1,3.
20 лет
Пошаговое объяснение:
Пусть сейчас у одного брата Х лет, а у другого У лет. Тогда сумма их возраста равна Х + У.
По условию через 10 лет сумма их возраста будет 40. Но, через 10 лет будет у одного брата Х+10 лет и у другого У+10 лет. Тогда
Х+10+У+10=40 или Х+У=20.
Значит сегодня сумма их возраста равна 20.
В задаче спрашивается, через сколько лет сумма их возраста будет в три раза больше чем сегодня, то есть 20·3=60.
Пусть через А лет сумма их возраста будет в три раза больше чем сегодня. Тогда
Х+А+У+А=60 или 2·А=60-(Х+У) или 2·А=60-20 или 2·А=40. Отсюда А=20.