Для начала заметим, что в уравнении есть тригонометрические функции sin и cos. Известно, что sin²x + cos²x = 1, поэтому мы можем заменить sin²x в уравнении на (1 - cos²x). Также, заметим, что есть общий множитель 5, который мы можем вынести за скобки. Это приведет к следующему:
5cos²x + 5cosx = 1 - 3(1 - cos²x)
Теперь, раскроем скобки:
5cos²x + 5cosx = 1 - 3 + 3cos²x
Объединим все члены, содержащие cos²x:
8cos²x + 5cosx = -2
Для удобства введем переменную t = cosx. Тогда получим:
8t² + 5t = -2
Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся методом факторизации или квадратным трехчленом. Приведем уравнение в следующий вид:
8t² + 5t + 2 = 0
Попробуем разложить его на два простых множителя:
(4t + 1)(2t + 2) = 0
(4t + 1) = 0 или (2t + 2) = 0
4t = -1 или 2t = -2
t = -1/4 или t = -1
Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденные значения обратно в косинусы:
cosx = -1/4 или cosx = -1
Теперь найдем углы, для которых косинус будет равен найденным значениям. Для этого воспользуемся таблицей значений функции косинуса или калькулятором.
cosx = -1/4
Чтобы найти x, нужно найти обратную функцию косинуса (арккосинус) от -1/4, которая обозначается как acos(-1/4). По таблице значений или с помощью калькулятора получаем:
x1 ≈ 104.48° или 2.93 радиана (положительное решение)
cosx = -1
Аналогично, чтобы найти x, нужно найти арккосинус от -1, т.е. acos(-1). Так как косинус отрицательный, это даст нам углы с прямым синусом, а значит x2 = 180° или π радиан (положительное решение).
Итак, получили два значения x:
x1 ≈ 104.48° или 2.93 радиана
x2 = 180° или π радиан
Таким образом, получили два решения для данного уравнения на интервале [270°; 450]: x1 ≈ 104.48° и x2 = 180°.
Имеем уравнение: 5cos²x + 5cosx = 1 - 3sin²x
Для начала заметим, что в уравнении есть тригонометрические функции sin и cos. Известно, что sin²x + cos²x = 1, поэтому мы можем заменить sin²x в уравнении на (1 - cos²x). Также, заметим, что есть общий множитель 5, который мы можем вынести за скобки. Это приведет к следующему:
5cos²x + 5cosx = 1 - 3(1 - cos²x)
Теперь, раскроем скобки:
5cos²x + 5cosx = 1 - 3 + 3cos²x
Объединим все члены, содержащие cos²x:
8cos²x + 5cosx = -2
Для удобства введем переменную t = cosx. Тогда получим:
8t² + 5t = -2
Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся методом факторизации или квадратным трехчленом. Приведем уравнение в следующий вид:
8t² + 5t + 2 = 0
Попробуем разложить его на два простых множителя:
(4t + 1)(2t + 2) = 0
(4t + 1) = 0 или (2t + 2) = 0
4t = -1 или 2t = -2
t = -1/4 или t = -1
Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденные значения обратно в косинусы:
cosx = -1/4 или cosx = -1
Теперь найдем углы, для которых косинус будет равен найденным значениям. Для этого воспользуемся таблицей значений функции косинуса или калькулятором.
cosx = -1/4
Чтобы найти x, нужно найти обратную функцию косинуса (арккосинус) от -1/4, которая обозначается как acos(-1/4). По таблице значений или с помощью калькулятора получаем:
x1 ≈ 104.48° или 2.93 радиана (положительное решение)
cosx = -1
Аналогично, чтобы найти x, нужно найти арккосинус от -1, т.е. acos(-1). Так как косинус отрицательный, это даст нам углы с прямым синусом, а значит x2 = 180° или π радиан (положительное решение).
Итак, получили два значения x:
x1 ≈ 104.48° или 2.93 радиана
x2 = 180° или π радиан
Таким образом, получили два решения для данного уравнения на интервале [270°; 450]: x1 ≈ 104.48° и x2 = 180°.