6.5. В замке 16
одинаковых Квадратных Комнат,
образующих квадрат 4х4. В эти комнаты по одному человеку
поселилось 16 человек - лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут,
рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 16 человек сказал:
«По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец».
Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди этих 16
человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена.
Введем обозначение: лжец-0, рыцарь-1, таким образом, построим многогранник Френеля, используя в качестве ребер - стороны квадратных комнат, так как это возможно и учитывая слова каждого из 16 человек, воспользуемся 1 теоремой Вейершрасса, которая нам дает, что в вершинах многогранника может быть не больше 7 нулей, другими словами не больше 7 лжецов
ответ - 7
Пошаговое объяснение:
Пошаговое объяснение:
У девяти клеток в середине по 4 соседа, у угловых-2 соседа, у тех, что возле стенки- 3 соседа. Заметим, что такая фраза наиболее вероятно принадлежит рыцарю(т.к. он говорит правду), то есть рыцарей больше половины. Однако если все 15- рыцари, то условие не выполнено, поскольку лжецы обязаны быть и говорить эту фразу. Нам нужно найти наибольшее кол-во рыцарей, убеждаемся, что 15 могло быть. 1 лжец солгал. Тогда ответ 15 рыцарей.
Давайте составим таблицу, чтобы понять, какие комбинации лжецов и рыцарей могут быть в каждой комнате. Пусть "Л" будет обозначать лжеца, а "Р" - рыцаря.
Определим взаимосвязи между комнатамии, чтобы понять, кто говорит правду.
1 2 3 4
1
2
3
4
Мы знаем, что каждый человек сказал, что по крайней мере в одной из соседних комнат живет лжец. Это означает, что для каждого человека его соседи должны быть лжецами.
Рассмотрим каждого человека отдельно и заполним таблицу по очереди.
1. Первый человек будет находиться в середине квадрата, у него будет 4 соседних комнаты (назовем их A, B, C, D). Вернемся к таблице и отметим это:
1 2 3 4
1
2 A
3 C
4 D
Теперь должны заполнить эти комнаты лжецами, так как первый человек сказал, что хотя бы в одной из комнат лжец. Обновим таблицу:
1 2 3 4
1
2 Л
3 Л
4 Л
2. Рассмотрим следующего человека. Он находится на верхней границе и также имеет 4 соседние комнаты (назовем их E, A, B, C). Обновим таблицу:
1 2 3 4
1 E
2 Л
3 Л
4 Л
Поскольку в одной из соседних комнат должен быть лжец, то комната E не может быть лжецом. Поэтому пометим эту комнату "Р":
1 2 3 4
1 E
2 Л
3 Л
4 Л
3. Рассмотрим третьего человека. Он находится в левом верхнем углу и имеет только двух соседних комнаты (A, E). Обновим таблицу:
1 2 3 4
1 E
2 Р Л
3 Л
4 Л
Поскольку каждый человек говорит только одну фразу, в которой он утверждает, что в одной из его соседних комнат живет лжец, это означает, что ни одна комната не должна быть соседствующей с двумя лжецами. Это означает, что комнаты A и E не могут быть лжецами.
4. Рассмотрим четвертого человека. Он находится в левой границе и имеет 3 соседних комнаты (A, B, F). Обновим таблицу:
1 2 3 4
1 E
2 Р Л
3 Л Л
4 Л
Поскольку первый, второй и третий человеки уже сказали, что комнаты A и E не являются лжецами, то комната F не может быть лжецом.
5. Продолжим заполнять таблицу аналогичным образом для оставшихся комнат.
1 2 3 4
1 E
2 Р Л
3 Л Л
4 Л
Итак, мы заполнили таблицу и теперь можем подсчитать количество лжецов. Подсчитаем количество лжецов внутри таблицы - их всего 6.
Однако, мы также помним, что позиции E и F также могут быть лжецами, поэтому добавим их к общему количеству лжецов - это дает нам 8 лжецов в общей сложности.
Таким образом, наибольшее количество лжецов, которое могло быть среди этих 16 человек, равно 8.