Пусть папе сейчас x лет.
10 лет назад:
x-10 лет папе
(x-10):2 лет было старшей дочери
(x-10):5 лет было второй дочери.
Сейчас:
x лет папе
(x-10):2+10 лет старшей
(x-10):5+10 лет второй
(x+10):5+10-14 = (x+10):5-4 лет младшей.
Папе сейчас столько же лет, сколько трем его дочерям вместе взятым, то есть
(x-10):2+10+(x-10):5+10+(x-10):5-4 = x
0,5x-5+10+0,2x-2+10+0,2x-2-4 = x
0,9x+7 = x
0,1x = 7
x = 70 лет папе
(70-10):2+10 = 60:2+10 = 30+10 = 40 лет старшей дочери.
(70-10):5+10 = 60:5+10 = 12+10 = 22 года второй дочери.
22-14 = 8 лет младшей дочери.
Обратная матрица
Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если
AA-1=A-1A=I
Для квадратной матрицы A обратная существует
тогда и только тогда, когда detA0.
где Aij - алгебраические дополнения элэментов aij
матрицы A. Свойства: (A-1)-1=A,
(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA
В частности:
Решение квадратной системы:
Ax=b
если |A|0, то x=A-1b
Матричные уравнения.
XA=B X=BA-1
AX=B X=A-1B
Некоторые св-ва определителей:
1.* Величина определителя не изменится, если каждую
строку заменить столбцом с тем же номером.
2. Если матрица B получена из матрицы A
перестановкой двух каких-либо ее строк
(столбцов*), то detB=detA.
3. Общий множитель всех элементов произвольной
строки (столбца*) определителя можно вынести за
знак определителя.
4.* Определитель, содержащий две пропор-
циональные строки (столбца), равен нулю.
5. Определитель не меняется от прибавления к
какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки
(столбца), умноженной на произвольное число.
6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя
есть линейная комбинация других его строк
(столбцов), то определитель равен 0.
7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее
определитель равен произведению элементов на
главной диагонали.
*-неизученные свойства.
Фундаментальная система решений.
Фундаментальной системой решений называется
система из (n-r) линейно независимых решений, где
n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:
ФСР: l1,l2,...,ln-r
ФСР может быть бесконечное множество.
Если l1,l2,...,ln-r-ФСР однородной системы, то
xоо = с1l1+с2l2+...+сn-r ln-r
xон = xоо + xчн
Метод Крамера:
Если =0 и не все xj=0, то система несовместна.
Если 0, то система имеет единственное решение,
где xj - определитель, полученный заменой j-го
столбца в определителе системы столбцом
свободных членов.
Пусть папе сейчас x лет.
10 лет назад:
x-10 лет папе
(x-10):2 лет было старшей дочери
(x-10):5 лет было второй дочери.
Сейчас:
x лет папе
(x-10):2+10 лет старшей
(x-10):5+10 лет второй
(x+10):5+10-14 = (x+10):5-4 лет младшей.
Папе сейчас столько же лет, сколько трем его дочерям вместе взятым, то есть
(x-10):2+10+(x-10):5+10+(x-10):5-4 = x
0,5x-5+10+0,2x-2+10+0,2x-2-4 = x
0,9x+7 = x
0,1x = 7
x = 70 лет папе
(70-10):2+10 = 60:2+10 = 30+10 = 40 лет старшей дочери.
(70-10):5+10 = 60:5+10 = 12+10 = 22 года второй дочери.
22-14 = 8 лет младшей дочери.
Обратная матрица
Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если
AA-1=A-1A=I
Для квадратной матрицы A обратная существует
тогда и только тогда, когда detA0.
где Aij - алгебраические дополнения элэментов aij
матрицы A. Свойства: (A-1)-1=A,
(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA
В частности:
Решение квадратной системы:
Ax=b
если |A|0, то x=A-1b
Матричные уравнения.
XA=B X=BA-1
AX=B X=A-1B
Некоторые св-ва определителей:
1.* Величина определителя не изменится, если каждую
строку заменить столбцом с тем же номером.
2. Если матрица B получена из матрицы A
перестановкой двух каких-либо ее строк
(столбцов*), то detB=detA.
3. Общий множитель всех элементов произвольной
строки (столбца*) определителя можно вынести за
знак определителя.
4.* Определитель, содержащий две пропор-
циональные строки (столбца), равен нулю.
5. Определитель не меняется от прибавления к
какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки
(столбца), умноженной на произвольное число.
6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя
есть линейная комбинация других его строк
(столбцов), то определитель равен 0.
7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее
определитель равен произведению элементов на
главной диагонали.
*-неизученные свойства.
Фундаментальная система решений.
Фундаментальной системой решений называется
система из (n-r) линейно независимых решений, где
n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:
ФСР: l1,l2,...,ln-r
ФСР может быть бесконечное множество.
Если l1,l2,...,ln-r-ФСР однородной системы, то
xоо = с1l1+с2l2+...+сn-r ln-r
xон = xоо + xчн
Метод Крамера:
Если =0 и не все xj=0, то система несовместна.
Если 0, то система имеет единственное решение,
где xj - определитель, полученный заменой j-го
столбца в определителе системы столбцом
свободных членов.