Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее - взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.
Например, в человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.
Основные понятия
Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.
Синус некоторого угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет - это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс - это единица, деленная на тангенс.
Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.
Популярные ошибки
Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок - в основном по невнимательности.
Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.
Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.
В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.
Решение: Пусть: S - расстояние между д. Вязью и г. Доном V1- скорость мопеда t1- время за которое мопед проехал половину пути от д. Вязь до г.Дон тогда: S/2: V1=t1 S/2=V1*t1 S=2V1*t1 (1)
V2 - скорость мотоциклиста t1-15/60=t1-0,25 - время в пути мотоциклиста, проехавшего половину от д.Вязь до г. Дон, тогда половину пути мотоциклист проехал за время: S/2 : V2=t1-0,25 S/2=V2*(t1-0,25) S=2*V2*(t1-0,25)=2V2*t1-0,5V2 (2) Приравняем (1) и (2) 2V1*t1=2V2*t1-0,5V2 (3)
Пусть: t2 - время в пути за которое мотоциклист проехал вторую половину пути от д.Вязь до г.Дон, тогда: S/2 : V2=t2 S/2=V2*t2 S=2V2*t2 (4)
У водителя мопеда, время за которое мотоциклист проехал вторую половину пути, также равно t2 Расстояние, которое проехал мопед, пока доехал мотоциклист до города, составляет: S/2 - 1/3*S=1/6*S=S/6 Отсюда: S/6 : V1=t2 S/6=V1*t2 S=6V1*t2 (5) Приравняем (4) и (5) 2V2*t2=6V1*t2 Разделим левую и правую части на (t2) 2V2=6V1 V2=3V1 Подставим это значение в (3) 2V1*t1=2*3V1*t1-0,5*3V1 2V1*t1=6V1*t1-1,5V1 V1*(2t1)=V1*(6t1-1,5) разделим левую и правую части на на (V1) 2t1=6t1 -1,5 6t1-2t1=1,5 4t1=1,5 t1=1,5:4 t1=0,375 (час) - за это время мопед проехал половину пути от деревни до города. А так как мопед ехал весь путь с постоянной скоростью, то время в пути мопеда составило: 0,375*2=0,75 (час) или 0,75час*60мин=45 мин
ответ: Время за которое проехал мопед путь от Вязи до Дона составляет 45мин
Название
Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее - взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.
Например, в человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.
Основные понятия
Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.
Синус некоторого угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет - это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс - это единица, деленная на тангенс.
Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.
Популярные ошибки
Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок - в основном по невнимательности.
Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.
Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.
В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.
Пусть:
S - расстояние между д. Вязью и г. Доном
V1- скорость мопеда
t1- время за которое мопед проехал половину пути от д. Вязь до г.Дон
тогда:
S/2: V1=t1
S/2=V1*t1
S=2V1*t1 (1)
V2 - скорость мотоциклиста
t1-15/60=t1-0,25 - время в пути мотоциклиста, проехавшего половину от д.Вязь до г. Дон,
тогда половину пути мотоциклист проехал за время:
S/2 : V2=t1-0,25
S/2=V2*(t1-0,25)
S=2*V2*(t1-0,25)=2V2*t1-0,5V2 (2)
Приравняем (1) и (2)
2V1*t1=2V2*t1-0,5V2 (3)
Пусть:
t2 - время в пути за которое мотоциклист проехал вторую половину пути от д.Вязь до г.Дон,
тогда:
S/2 : V2=t2
S/2=V2*t2
S=2V2*t2 (4)
У водителя мопеда, время за которое мотоциклист проехал вторую половину пути, также равно t2
Расстояние, которое проехал мопед, пока доехал мотоциклист до города, составляет:
S/2 - 1/3*S=1/6*S=S/6
Отсюда:
S/6 : V1=t2
S/6=V1*t2
S=6V1*t2 (5)
Приравняем (4) и (5)
2V2*t2=6V1*t2 Разделим левую и правую части на (t2)
2V2=6V1
V2=3V1 Подставим это значение в (3)
2V1*t1=2*3V1*t1-0,5*3V1
2V1*t1=6V1*t1-1,5V1
V1*(2t1)=V1*(6t1-1,5) разделим левую и правую части на на (V1)
2t1=6t1 -1,5
6t1-2t1=1,5
4t1=1,5
t1=1,5:4
t1=0,375 (час) - за это время мопед проехал половину пути от деревни до города.
А так как мопед ехал весь путь с постоянной скоростью, то время в пути мопеда составило:
0,375*2=0,75 (час) или 0,75час*60мин=45 мин
ответ: Время за которое проехал мопед путь от Вязи до Дона составляет 45мин