6. Ширина футбольных ворот равна 8 ярдам. Расстояние от 11-метровой отметки до линии ворот равна 12 ярдам. Найдите косинус угла, под которым видны ворота
метровой отметки.
​

Введём обозначение НОД(a; b) = n. Так как a•b = НОД(a; b)•НОК(a; b), то

НОК(a; b) = a•b/НОД(a; b) = a•b/n.

Рассмотрим числа c = a/n и d = b/n. Тогда c и d взаимно простые числа. Поэтому HOД(c; d) = 1 и НОК(c; d) = c•d.

Далее, так как a = c•n и b = d•n, то

6•(a+b) = 6•(c•n+d•n) = 6•n•(c+d) и НОД(a; b)+НОК(a; b) = n + a•b/n.

Отсюда

6•n•(c+d) = n + a•b/n или

6•(c+d) = 1 + a•b/n² = 1 + (a/n)•(b/n) = 1 + c•d = HOД(c; d) + НОК(c; d), то есть

6•(c+d) = HOД(c; d) + НОК(c; d).

Так как c ≤ a и d ≤ b, то последнее равенство означает, что наименьшее значение a•b следует искать среди чисел, для которых HOД(a; b) = 1.

Найдём целочисленные решения уравнения

6•(c+d) = 1 + c•d.

6•(c+d) = 1 + c•d ⇔ 6•c–c•d = 1–6•d ⇔ c•(6–d) = 1–6•d ⇔

⇔ c = (1–6•d)/(6–d) = (6•d–1)/(d–6) = (6•d–36+35)/(d–6) = 6+35/(d–6).

Значит, 35 делится на d–6, поэтому

d = 7 или 11 или 13 или 41.

Отсюда

c = 41 или 13 или 11 или 7.

Тогда получим следующие пары:

(7; 41), (11; 13), (13; 11), (41; 7).

Так как 7•41 = 287 и 11•13 = 143, то наименьшее произведение равно 143

Пусть x- кол-во книг которое было в 1 шкафу

4x- кол-во книг которое было во 2 шкафу

x+8 стало книг в 1 шкафу

4x-25 стало книг во 2 шкафу

И кол-во книг стало поровну в обоих шкафах,составим уравнение:

4x-25=x+8

4x-x=8+25

3x=33

x=33÷3

x=11- книг было в 1 шкафу,т.к. именно ее изначально представили как x

Тогда:

11×4=44 книг было во 2 шкафу

Проверим,по условию,добавляем к кол-ву книг которое было в 1 шкафу восемь(+8)

А от кол-ва книг которое было во 2 шкафу отнимаем 25:

11+8=19

44-25=19

И кол-во книг стало поровну,как и по условию