Введемо поняття первісної функції та невизначеного інтеграла, розглянемо основні іх властивості.
Функція F(x) називається первісною функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого x з цього проміжку F‘(x) = f(x).
Наприклад
Перевірити, чи буде функція F(x)=sinx+2,5x2 первісною функції f(x)= cosx+5х на множині дійсних чисел?
Знайдемо похідну функції F(x), F‘(x) = cosx+2,5*2х, отже F(x) називається первісною функції f(x) на множині дійсних чисел
Основна властивість первісної
Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а C – довільна стала, то F(x)+C є також первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для функції f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+C , де С – довільна стала.
Первісна
Графіки будь-яких первісних одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі ОУ.
Наприклад, розв’яжемо задачу:
Для функції f(x)=–x2+3x обчисліть первісну, графік якої проходить через точку М(2;-1).
Розв’язання
Знайдемо загальний вигляд первісної даної функції:
F(x)=-x3/3+3 x2/2 +С. (1)
Оскільки графік шуканої первісної задовольняє рівнянню (1), підставимо в рівняння замість аргументу значення 2, замість функції значення -1, матимемо:
г) 1 1/3-5/6=( одна целая одна третья минус пять шестых) = (3•1+1)/3 - 5/6= 4/3 - 5/6= (4•2)/(3•2) - 5/6= 8/6 - 5/6= 2/6= 1/3. (2/6 сократили; поделили числитель на 2 и знаменатель на 2; =1/3);
д) 3 9/25- 1 9/10=( три целых девять двадцать пятых минус одна целая девять десятых) = (25•3+9)/25 - (10•1+9)/10= 84/25 - 19/10= (84•2)/(25•2) - (19•5)/(10•5)= 168/50 - 95/50= 73/50 = 1ц 23/50;
е) 3 1/8 - 1/6=( три целых одна восьмая минус одна шестая)= (8•3+1)/8 - 1/6= 25/8 - 1/6= (25•3)/(8•3) - (1•4)/(6•4)= 75/24 - 4/24= 71/24= 2ц 23/24;
Решите задачу( по действиям): От стоянки до первого светофора автомобиль ехал 2/3 ч, а до второго светофора -на 1/6 ч меньше. Сколько времени затратил автомобиль на движение от стоянки до второго светофора , если на первом светофоре он стоял 1/30 ч? Дано: 1путь от стоянки до 1светофора =2/3часа; Стоял на 1светофоре = 1/30ч; Второй путь. От 1 до второго = на 1/6ч меньше; Общий путь. От стоянки до второго светофора=? Часов; 1час =60минут; переведём в минуты;
1)) 2/3часа= 60:3•2= 40мин время все (вместе с стоял) до 1светофора;
2)) 1/30ч= 60:30•1=2мин стоял на светофоре;
3)) 40-2=38мин в движении, значит это время ехал;
4)) 1/6часа=60:6•1=10минут это меньше проехал от 1до 2 светофора;
5)) 38-10=28мин ехал от 1 до второго светофора;
6)) 38+28= 66мин= 1час 6мин время, когда ехал от стоянки до 2 светофора);
В дробях 1)) 2/3ч - 1/30ч= (2•10)/(3•10) - 1/30= 20/30- 1/30= 19/30ч ехал (вычли время что стоял) от стоянки до 1 светофора;
2)) 19/30ч - 1/6ч = 19/30- (1•5)/(6•5)= 19/30- 5/30= 14/30часа ехал от 1 до 2 светофора;
3)) 19/30+ 14/30= 33/30ч = 1 3/30= 1 1/10= 1,1часов ехал от стоянки до 2 светофора;
ответ: автомобиль от стоянки до второго светофора затратил на движение 1,1часа или 1 час 6минут.
Введемо поняття первісної функції та невизначеного інтеграла, розглянемо основні іх властивості.
Функція F(x) називається первісною функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого x з цього проміжку F‘(x) = f(x).
Наприклад
Перевірити, чи буде функція F(x)=sinx+2,5x2 первісною функції f(x)= cosx+5х на множині дійсних чисел?
Знайдемо похідну функції F(x), F‘(x) = cosx+2,5*2х, отже F(x) називається первісною функції f(x) на множині дійсних чисел
Основна властивість первісної
Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а C – довільна стала, то F(x)+C є також первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для функції f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+C , де С – довільна стала.
Первісна
Графіки будь-яких первісних одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі ОУ.
Наприклад, розв’яжемо задачу:
Для функції f(x)=–x2+3x обчисліть первісну, графік якої проходить через точку М(2;-1).
Розв’язання
Знайдемо загальний вигляд первісної даної функції:
F(x)=-x3/3+3 x2/2 +С. (1)
Оскільки графік шуканої первісної задовольняє рівнянню (1), підставимо в рівняння замість аргументу значення 2, замість функції значення -1, матимемо:
-1=-8/3+6 +С,
Отже С=-13/3.
Шукана первісна матиме вигляд: F(x)=-x3/3+3 x2/2 -13/3
Невизначений інтеграл
Первісна. Інтеграл
Таблиця первісних (невизначених інтегралів)
Первісна. Таблиця інтегралів
Приклади знаходження невизначених інтегралів:
Первісна. Інтеграл
ІНТЕГРАЛПЕРВІСНАПОЧАТКИ АНАЛІЗУФУНКЦІЯ
Навігація по записам
ПОПЕРЕДНІЙ ЗАПИС
Похідна функції, її геометричний та механічний зміст
НАСТУПНИЙ ЗАПИС
Геометричний зміст і означення визначеного інтеграла
ЗАЛИШИТИ ВІДПОВІДЬ
Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *
Коментар
Ім'я *
Email *
Сайт
Цей сайт використовує Akismet для зменшення спаму. Дізнайтеся, як обробляються ваші дані коментарів.
ТЕСТИ ЗНО ОНЛАЙН
На сайті osvita.ua можна пройти тестування ЗНО за текстами попередніх років онлайн
Тематичні тренувальні тести для підготовки до ЗНО з математики
ОСТАННІ ПУБЛІКАЦІЇ
Первісна та інтеграл
09.05.2020
Логарифмічні рівняння та нерівності
09.05.2020
Показникові рівняння та нерівності
07.05.2020
Куля і сфера
16.04.2020
Дослідження функції за до похідної у завданнях з параметрами
Пошаговое объяснение:
а) 3 1/2 - 5/9= ( три целых одна вторая минус пять девятых) =
(2•3+1)/2 - 5/9= 7/2 - 5/9=
(7•9)/(2•9) - (5•2)/(9•2)= 63/18- 10/18=53/18= 2ц 17/18;
б) 1 1/4- 1/3=( одна целая одна четвёртая минус одна третья) =
(4•1+1)/4 - 1/3= 5/4- 1/3=
(5•3)/(4•3) - (1•4)/(3•4)=
15/12 - 4/12= 11/12.
в) 1 13/15-2/5=(одна целая тринадцать пятнадцатых минус две пятых) =
(15•1+13)/15 - 2/5=
28/15 - 2/5= 28/15 - (2•3)/(5•3)=
28/15 - 6/15= 22/15= 1 ц 7/15;
г) 1 1/3-5/6=( одна целая одна третья минус пять шестых) =
(3•1+1)/3 - 5/6=
4/3 - 5/6= (4•2)/(3•2) - 5/6=
8/6 - 5/6= 2/6= 1/3.
(2/6 сократили; поделили числитель на 2 и знаменатель на 2; =1/3);
д) 3 9/25- 1 9/10=( три целых девять двадцать пятых минус одна целая девять десятых) =
(25•3+9)/25 - (10•1+9)/10= 84/25 - 19/10= (84•2)/(25•2) - (19•5)/(10•5)=
168/50 - 95/50= 73/50 = 1ц 23/50;
е) 3 1/8 - 1/6=( три целых одна восьмая минус одна шестая)=
(8•3+1)/8 - 1/6= 25/8 - 1/6=
(25•3)/(8•3) - (1•4)/(6•4)=
75/24 - 4/24= 71/24= 2ц 23/24;
Решите задачу( по действиям): От стоянки до первого светофора автомобиль ехал 2/3 ч, а до второго светофора -на 1/6 ч меньше. Сколько времени затратил автомобиль на движение от стоянки до второго светофора , если на первом светофоре он стоял 1/30 ч?
Дано:
1путь от стоянки до 1светофора =2/3часа;
Стоял на 1светофоре = 1/30ч;
Второй путь. От 1 до второго = на 1/6ч меньше;
Общий путь. От стоянки до второго светофора=? Часов;
1час =60минут; переведём в минуты;
1)) 2/3часа= 60:3•2= 40мин время все (вместе с стоял) до 1светофора;
2)) 1/30ч= 60:30•1=2мин стоял на светофоре;
3)) 40-2=38мин в движении, значит это время ехал;
4)) 1/6часа=60:6•1=10минут это меньше проехал от 1до 2 светофора;
5)) 38-10=28мин ехал от 1 до второго светофора;
6)) 38+28= 66мин= 1час 6мин время, когда ехал от стоянки до 2 светофора);
В дробях
1)) 2/3ч - 1/30ч= (2•10)/(3•10) - 1/30= 20/30- 1/30= 19/30ч ехал (вычли время что стоял) от стоянки до 1 светофора;
2)) 19/30ч - 1/6ч = 19/30- (1•5)/(6•5)= 19/30- 5/30= 14/30часа ехал от 1 до 2 светофора;
3)) 19/30+ 14/30= 33/30ч = 1 3/30= 1 1/10= 1,1часов ехал от стоянки до 2 светофора;
ответ: автомобиль от стоянки до второго светофора затратил на движение 1,1часа или 1 час 6минут.