6 Запиши выражения по задачам. а) из одного села в одном направлении одновременно вы- ехали два велосипедиста. Скорость одного из них - 15 км/ч скорость другого – 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?
Произведение цифр. Для начала попробуем разложить число 40 на общие множители: 40 = 5 * 2 * 2 * 2
В итоге мы получили 4 цифры, а нам нужно получить пять. Если мы добавим цифру 1 в произведение, то результат не изменится: 40 = 5 * 2 * 2 * 2 * 1
Итого, имеем 5 цифр, из которых можно составить пятизначное число! Первое условие удовлетворено.
Но мы пока не можем дать точного ответа, потому что не все составленные числа будут удовлетворять второму условию - делимости на 12.
Вспоминаем (или найдем) признаки делимости. Признак делимости на 12: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Проверим делимость на 3. 5 + 2 + 2 + 2 + 1 = 12
Видим, что при любой комбинации цифр мы получил число, делящееся на 3!
Проверим делимость на 4. Для этого число из двух последних цифр должно быть четным (иначе оно просто не может делиться на 4). Из цифр 5, 2 и 1 мы можем составить только три варианта таких чисел: 52, 22, 12
52:4 = 13 - делится без остатка 22:4 = 6.5 - не делится нацело 12:4 = 3 - делится без остатка
Итак, мы выяснили, что искомое число должно быть такого вида: XXX52 или XXX12
Подставляя все имеющиеся цифры, которые мы нашли ранее, получаем такие варианты: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212
Выбираем любое из этих чисел - оно и будет ответом на вопрос.
Задача по теории чисел, по теме делимость. Напомню. Чтобы число делилось на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Чтобы число делилось на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, составленное из последних 2х цифр этого числа делилось на 4. НАМ требуется найти число, которое делится на 12, то есть ОДНОВРЕМЕННО на 3 и на 4.
Это будем иметь ввиду для дальнейшего решения. А начнем собственно решение с другого. Требуется, чтобы произведение всех цифр числа = 40. При этом цифр в искомом числе ровно 5. Еще для себя отметим что среди цифр искомого числа отсутствует 0, ведь произведение не равно нулю (а равно 40).
Рассмотрим варианты разложения числа 40 на множители так, чтобы получилось 5 сомножителей. 40=2*2*2*5*1
Какие варианты расстановки цифр нам подойдут в данном разложении. 1. Сумма цифр должна делиться на 3. 2+2+2+5+1=12 - Подходит. Последние 2 цифры должны составить число, делящееся на 4. Это может быть только 12 либо 52. Таким образом мы получили числа подходящие нам по всем условиям 52212 25212 22512
12252 21252 22152
Рассмотрим другое разложение на множители числа 40: 40=4*1*2*5*1 сумма цифр 4+1+2+5+1=13 не делится на 3 - не подходит.
40=8*5*1*1*1 Сумма цифр 8+5+1+1+1=16 не делится на 3.
Рассмотрим условия по порядку.
Произведение цифр.
Для начала попробуем разложить число 40 на общие множители:
40 = 5 * 2 * 2 * 2
В итоге мы получили 4 цифры, а нам нужно получить пять.
Если мы добавим цифру 1 в произведение, то результат не изменится:
40 = 5 * 2 * 2 * 2 * 1
Итого, имеем 5 цифр, из которых можно составить пятизначное число!
Первое условие удовлетворено.
Но мы пока не можем дать точного ответа, потому что не все составленные числа будут удовлетворять второму условию - делимости на 12.
Вспоминаем (или найдем) признаки делимости.
Признак делимости на 12: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Проверим делимость на 3.
5 + 2 + 2 + 2 + 1 = 12
Видим, что при любой комбинации цифр мы получил число, делящееся на 3!
Проверим делимость на 4.
Для этого число из двух последних цифр должно быть четным (иначе оно просто не может делиться на 4).
Из цифр 5, 2 и 1 мы можем составить только три варианта таких чисел:
52, 22, 12
52:4 = 13 - делится без остатка
22:4 = 6.5 - не делится нацело
12:4 = 3 - делится без остатка
Итак, мы выяснили, что искомое число должно быть такого вида:
XXX52 или XXX12
Подставляя все имеющиеся цифры, которые мы нашли ранее, получаем такие варианты:
12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212
Выбираем любое из этих чисел - оно и будет ответом на вопрос.
Напомню.
Чтобы число делилось на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Чтобы число делилось на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, составленное из последних 2х цифр этого числа делилось на 4.
НАМ требуется найти число, которое делится на 12, то есть ОДНОВРЕМЕННО на 3 и на 4.
Это будем иметь ввиду для дальнейшего решения.
А начнем собственно решение с другого.
Требуется, чтобы произведение всех цифр числа = 40.
При этом цифр в искомом числе ровно 5.
Еще для себя отметим что среди цифр искомого числа отсутствует 0, ведь произведение не равно нулю (а равно 40).
Рассмотрим варианты разложения числа 40 на множители так, чтобы получилось 5 сомножителей.
40=2*2*2*5*1
Какие варианты расстановки цифр нам подойдут в данном разложении.
1. Сумма цифр должна делиться на 3. 2+2+2+5+1=12 - Подходит.
Последние 2 цифры должны составить число, делящееся на 4. Это может быть только
12 либо 52.
Таким образом мы получили числа подходящие нам по всем условиям
52212
25212
22512
12252
21252
22152
Рассмотрим другое разложение на множители числа 40:
40=4*1*2*5*1
сумма цифр 4+1+2+5+1=13 не делится на 3 - не подходит.
40=8*5*1*1*1
Сумма цифр 8+5+1+1+1=16 не делится на 3.