7-5. Одна (и только одна) из цифр пятизначного числа — двойка. Если вычеркнуть двойку, то число уменьшится ровно в 9 раз. На каком месте стоит двойка? Найдите все числа, обладающие этим свойством.
Покажем, что последняя цифра не может быть двойкой. Действительно, если это так, то пусть . Тогда , но поскольку эти числа отличаются лишь последней цифрой (и 2>0), то , противоречие.
Это был один из начать рассуждение, которое, однако, вряд ли к чему либо приведет.
Рассмотрим другой подход. Заметим, что . Пусть исходное число построено так: . Пусть . Тогда , противоречие. Аналогично доказывается для любой позиции двойки в числе, кроме второй слева. Идея состоит в том, что вычитаемое четырехзначное число достает таким образом до позиции, которая остается в числе, а значит, нарушает равенство. Остается лишь сделать так, чтобы эта позиция исчезала. Собственно, поставить двойку на вторую позицию
Теперь рассмотрим вычитание столбиком:
, откуда ясно, что , или , но два быть не может, поскольку у нас ровно одна двойка, или , наконец или .
Покажем, что последняя цифра не может быть двойкой. Действительно, если это так, то пусть
. Тогда 
, но поскольку эти числа отличаются лишь последней цифрой (и 2>0), то 
, противоречие.
Это был один из начать рассуждение, которое, однако, вряд ли к чему либо приведет.
Рассмотрим другой подход. Заметим, что
. Пусть исходное число построено так: 
. Пусть 
. Тогда ![\overline{abced}=9\times \overline{abed}=\overline{abed0}-\overline{abed}\leq \overline{a[b-1]ed0}](/tpl/images/1428/2431/04d5d.png)
, противоречие. Аналогично доказывается для любой позиции двойки в числе, кроме второй слева. Идея состоит в том, что вычитаемое четырехзначное число достает таким образом до позиции, которая остается в числе, а значит, нарушает равенство. Остается лишь сделать так, чтобы эта позиция исчезала. Собственно, поставить двойку на вторую позицию
Теперь рассмотрим вычитание столбиком:
Получаем два числа:
и 
.