7) Асан несколько раз сдал тест по математике. Его средний показатель составило После этого он сдал еще один тест и набрал 86 . Теперь его средний показатель составило Сколько всего тестов сдал Асан? [] *
Будем искать наименьшее неподходящее. Понятно, что это число имеет вид p^k, где p - простое (иначе оно бы разбивалось на произведение двух взаимно простых множителей, больших единицы, являющихся, по предположению, делителем 2010!)
Простое число p входит в разложение числа 2010! на простые множители в степени [2010/p] + [2010/p^2] + [2010/p^3] + ... ([x] - целая часть x)
Посмотрим, какие степени выходят для маленьких простых чисел p.
В наибольшей степени в произведение входит двойка, её степень равна [2010/2] + [2010/4] + [2010/8] + ... + [2010/1024] = 2002 Для p = 2 максимальное возможное k есть [2002/4] = 500.
Дальше тройка: [2010/3] + [2010/9] + [2010/81] + ... + [2010/729] = 1001 Для p = 3 максимальное возможное k есть [1001/4] = 250
Пятерка: [2010/5] + [2010/25] + [2010/125] + [2010/625] = 501 Для p = 5 максимальное возможное k есть [501/4] = 125
Семерка: [2010/7] + [2010/49] + [2010/343] = 333 Для p = 7 максимальное возможное k есть [333/4] = 83
Возникает гипотеза: для нашего случая k = 1. Найдем подходящее число p. Итак, надо найти такое простое p, что предыдущее простое входит в степени, не меньшей четырех, а p - в степени не большей трех. Заметим, что p^2 < 2010 - иначе число p входит в разложение в степени, не меньшей, чем (p - 1), что куда больше четырех при больших p. [2010/p] + [2010/p^2] + ... = [2010/p] < 4 p > 2010/4 Минимальное простое p, удовлетворяющее неравенствам, равно 503.
На этом мотивировочная часть решения закончилась и начинается решение.
РЕШЕНИЕ. Утверждаем, что это число равно 503. Заметим, что для всех n < 503 числа n, 2n, 3n, 4n < 2010 и поэтому 2010! делится на 24n^4 и, в частности, на n^4. Но 2010! делится на 503^3 и не делится на 503^4.
1. Измерение отрезков
Две геометрические фигуры (отрезки, углы,
треугольники и др.) считаются равными, если их
можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.
Отрезки равны, если равны их длины.
Если точка лежит на отрезке , то A B C
+ = .
1. На прямой выбраны три точки , и , причём = 3, = 5. Чему может быть равно ?
(Есть разные возможности.)
B Если точка находится между точками и
A B C
3 5
, то это расстояние равно 3+5 = 8. Но возможен и
другой случай, когда находится вне отрезка .
Нарисовав картинку, убеждаемся, что в этом случае
B A C расстояние равно 5 − 3 = 2. C
3 2
2. На прямой выбраны четыре точки , , ,
, причём = 1, = 2, = 4. Чему может
быть равно ? Укажите все возможности.
B Сначала посмотрим, чему может быть равно
расстояние между точками и . Как и в предыдущей задаче, тут есть две возможности (точка
внутри или вне) | и получается либо 3, либо
1. Теперь мы получаем две задачи: в одной из них
= 3 и = 4, в другой | = 1, = 4.
Каждая имеет по два ответа, так что всего ответов
получается четыре: 4+3, 4−3, 4+1 и 4−1. ответ:
расстояние может равняться 1, 3, 5 или 7. C
3. На деревянной линейке отмечены три деле- 0 7 11
ния: 0, 7 и 11 сантиметров. Как отложить с её отрезок в (а) 8 см; (б) 5 см?
B Используя деления 7 и 11, легко отложить 4
сантиметра. Сделав это дважды, получим отрезок
в 8 сантиметров. Отложить 5 сантиметров немного
сложнее: умея откладывать 8 и 7, можно отложить
1 сантиметр. Сделав это 5 раз, получаем 5 сантиметров. C
6
Можно сделать иначе: мы умеем откладывать
4 см и 1 см, так что можно отложить их подряд
и получить 5 cм. Ещё один так что достаточно отложить 3 раза по 11 см и потом 4 раза по 7 в другую сторону. (Преимущество
приведённого сначала в том, что он годится
для любого целого числа сантиметров.)
Простое число p входит в разложение числа 2010! на простые множители в степени [2010/p] + [2010/p^2] + [2010/p^3] + ... ([x] - целая часть x)
Посмотрим, какие степени выходят для маленьких простых чисел p.
В наибольшей степени в произведение входит двойка, её степень равна
[2010/2] + [2010/4] + [2010/8] + ... + [2010/1024] = 2002
Для p = 2 максимальное возможное k есть [2002/4] = 500.
Дальше тройка:
[2010/3] + [2010/9] + [2010/81] + ... + [2010/729] = 1001
Для p = 3 максимальное возможное k есть [1001/4] = 250
Пятерка:
[2010/5] + [2010/25] + [2010/125] + [2010/625] = 501
Для p = 5 максимальное возможное k есть [501/4] = 125
Семерка:
[2010/7] + [2010/49] + [2010/343] = 333
Для p = 7 максимальное возможное k есть [333/4] = 83
Сравним числа 2^501 > 3^251 > 5^126 > 7^84.
(Их десятичные логарифмы: 346.5 > 274.7 > 201.2 > 161.5)
Возникает гипотеза: для нашего случая k = 1. Найдем подходящее число p.
Итак, надо найти такое простое p, что предыдущее простое входит в степени, не меньшей четырех, а p - в степени не большей трех. Заметим, что p^2 < 2010 - иначе число p входит в разложение в степени, не меньшей, чем (p - 1), что куда больше четырех при больших p.
[2010/p] + [2010/p^2] + ... = [2010/p] < 4
p > 2010/4
Минимальное простое p, удовлетворяющее неравенствам, равно 503.
На этом мотивировочная часть решения закончилась и начинается решение.
РЕШЕНИЕ.
Утверждаем, что это число равно 503.
Заметим, что для всех n < 503 числа n, 2n, 3n, 4n < 2010 и поэтому 2010! делится на 24n^4 и, в частности, на n^4. Но 2010! делится на 503^3 и не делится на 503^4.