Заданы координаты вершин пирамиды:
A(2,1,2), B(-2,3,4), C(-6,-3,3), D(4,5,-1)Найти:
1) скалярное произведение АВ. AC и угол между ними.
Находим векторы:
АВ = (-2-2; 3-1; 4-2) = (-4; 2; 2).
Модуль равен √((-4)² + 2² + 2²) = √24 = 2√6.
АС = (-6-2; -3-1; 3-2) = (-8; -4; 1).
Модуль равен √((-8)² + (-4)² + 1²) = √81 = 9.
Находим косинус угла между этими векторами.
cos(AB_AC) = (-4*(-8) + (2*(-4) + 2*1)/(2√6*9) = 26/(18√6) = 13/(9√6).
Скалярное произведение АВ*АС = 26 (расчёт приведен в косинусе А).
Угол А = arccos(13/(9√6) = 53,8648 градуса.
2) вектор р= [AB x AС|, площадь грани ABC;
р= [AB x AС] = i j k| i j
-4 2 2| -4 2
-8 -4 1| -8 -4 = 2i - 16j + 16k + 4j + 8i + 16k =
= 10i - 12j + 32k.
p = (10; -12; 32).
Площадь АВС равна половине модуля полученного векторного произведения.
S = (1/2)|p| = (1/2)√(10² + (-12)² + 32²) = (1/2)√1268 ≈ 35,609 кв. ед.
3) объем пирамиды.
V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
Произведение [ABxAC] найдено выше: (10; -12; 32)
Находим вектор AD.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}.
X Y Z
2 4 -3
Модуль = √29 ≈ 5,38516.
Находим |(ABxAC)*AD|:
10 -12 32
х
20 -48 -96 = |-126| = 126.
V = (1/6)*126 = 21 куб. ед.
1) 1/15 и 1/5 * 3 = 3/15; 1/15 & 3/15
2) 2/3 * 4 = 8/12 и 3/4 * 3 = 9/12; 8/12 & 9/12 ( знаменатели взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
3) 1/2 * 7 = 7/14 и 3/7 * 2 = 6/14; 7/14 & 6/14 ( знаменатели взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
4) 3/5 * 6 = 18/30 и 5/6 * 5 = 25/30; 18/30 & 25/30 ( знаменатели взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
5) 4/15 * 11 = 44/165 и 7/11 * 15 = 105/165; 44/165 & 105/165 ( эти знаменатели тоже взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
Пошаговое объяснение:
Я смог
Заданы координаты вершин пирамиды:
A(2,1,2), B(-2,3,4), C(-6,-3,3), D(4,5,-1)Найти:
1) скалярное произведение АВ. AC и угол между ними.
Находим векторы:
АВ = (-2-2; 3-1; 4-2) = (-4; 2; 2).
Модуль равен √((-4)² + 2² + 2²) = √24 = 2√6.
АС = (-6-2; -3-1; 3-2) = (-8; -4; 1).
Модуль равен √((-8)² + (-4)² + 1²) = √81 = 9.
Находим косинус угла между этими векторами.
cos(AB_AC) = (-4*(-8) + (2*(-4) + 2*1)/(2√6*9) = 26/(18√6) = 13/(9√6).
Скалярное произведение АВ*АС = 26 (расчёт приведен в косинусе А).
Угол А = arccos(13/(9√6) = 53,8648 градуса.
2) вектор р= [AB x AС|, площадь грани ABC;
р= [AB x AС] = i j k| i j
-4 2 2| -4 2
-8 -4 1| -8 -4 = 2i - 16j + 16k + 4j + 8i + 16k =
= 10i - 12j + 32k.
p = (10; -12; 32).
Площадь АВС равна половине модуля полученного векторного произведения.
S = (1/2)|p| = (1/2)√(10² + (-12)² + 32²) = (1/2)√1268 ≈ 35,609 кв. ед.
3) объем пирамиды.
V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
Произведение [ABxAC] найдено выше: (10; -12; 32)
Находим вектор AD.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}.
X Y Z
2 4 -3
Модуль = √29 ≈ 5,38516.
Находим |(ABxAC)*AD|:
10 -12 32
х
2 4 -3
20 -48 -96 = |-126| = 126.
V = (1/6)*126 = 21 куб. ед.
1) 1/15 и 1/5 * 3 = 3/15; 1/15 & 3/15
2) 2/3 * 4 = 8/12 и 3/4 * 3 = 9/12; 8/12 & 9/12 ( знаменатели взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
3) 1/2 * 7 = 7/14 и 3/7 * 2 = 6/14; 7/14 & 6/14 ( знаменатели взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
4) 3/5 * 6 = 18/30 и 5/6 * 5 = 25/30; 18/30 & 25/30 ( знаменатели взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
5) 4/15 * 11 = 44/165 и 7/11 * 15 = 105/165; 44/165 & 105/165 ( эти знаменатели тоже взаимно-простые, поэтому просто перемножили )
Пошаговое объяснение:
Я смог