9 одинаковых пеналов стоят больше 1100 рублей, но меньше 1200 рублей, а 13 таких же пеналов – больше 1500 рублей, но меньше 1600 рублей. Известно, что пенал стоит целое число рублей. Сколько стоит один пенал

Вершины ∆АВС имеют координаты: А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). Находим:  

а) координаты и длину вектора AB.

AB=(-1-(-2); 2-0; 3-1) = (1; 2; 2),

|AB| = √(12 + 22 + 22) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

б) периметр ∆АВС.  

BC = (8-(-1); -4-2; 9-3) = (9; -6; 6),

|BC| = √(92 + (-6)2 + 62) = √(81 + 36 + 36) = √153.

AC = (8-(-2); -4-0; 9-1) = (10; -4; 8),

|AC| = √(102 + (-4)2 + 82) = √(100 + 16+ 64) = √180 = 6√5.

P = 3 + √153 + 6√5 ≈ 28,78572.

в) угол А.

Используем найденные векторы АВ и АС и их модули:  

AB = (1; 2; 2), |AB| = 3.

AC = (10; -4; 8), |AC| = 6√5.

cos A = (1*10 + 2*(-4) + 2*8) / (3*6√5) = 16 / (18√5) = 8 / (9√5) ≈ 0,447214.

Угол А = arc cos(8/9√5) = 1,10715 радиан или 63,43495 градуса.

г) координаты точки М - середины ВС.

М = (В( -1; 2; 3 ) + С( 8; -4; 9 ))/2 = (3,5; -1; 6).

д) длину медианы АМ. Точка А(-2; 0; 1)

АМ = (3,5 – (-2); -1-0; 6-1) = (5,5; -1; 5).

Длина (модуль) АМ равен:

АМ = √(5,52 + (-1)2 + 52) = √(30,25 + 1 + 25) = √56,25 = 7,5.

Пусть S - путь.
Пусть х - скорость первого,
Причем, х > 50 км/ч
х - 12 - скорость второго на первой половине пути.
S/х - время в пути первого автомобиля.
S/2 - половина пути.
S/((2(х-12)) - время, за которое второй проехал первую половину пути.
S/(2•77) - время, за которое второй проехал вторую половину пути.

Уравнение:
S/х = S/((2(х-12)) + S/(2•77) | :S
1/х = 1/(2(х-12) + 1/(154) | •154х(х-12)
154х(х-12)/х=154х(х-12)/(2(х-12) +154х(х-12)/154
154(х-12) = 77х + х(х-12)
154х - 1848 = 77х + х² - 12х
х² + 77х - 12х - 154х + 1848 = 0
х² - 89х + 1848 = 0
D = 89² - 4•1848 = 7821 - 192 = 529
√D = √529 = 23
х1 = (89+23)/2 = 56 км/ч - скорость первого автомобиля
х 2 = (89-23)/2 = 33 км/ч - не подходит, поскольку по условию х > 50 км/ч.

ответ: 56 км/ч.