А (-8;-4) В (4;5) С (2;-9) Найти:
1) длину стороны АВ
2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты
3) внутренний угол А в радианах
4) уравнение высоты CD и её длину
5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр

Давайте пошагово решим каждый пункт вопроса.

1) Длина стороны АВ можно найти с помощью формулы для расстояния между двумя точками:
d(AB) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

В данном случае координаты точки A(-8;-4) и точки B(4;5), поэтому подставим значения в формулу:
d(AB) = √((4 - (-8))² + (5 - (-4))²)
= √((4 + 8)² + (5 + 4)²)
= √(12² + 9²)
= √(144 + 81)
= √(225)
= 15

Таким образом, длина стороны АВ равна 15.

2) Уравнение прямой АВ можно найти, используя точки A и B и формулу:
y - y1 = m(x - x1)

где m - угловой коэффициент, который можно найти как:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Для нашей задачи, точка A(-8;-4) и точка B(4;5), поэтому подставим значения в формулу:
m = (5 - (-4)) / (4 - (-8))
= 9 / 12
= 3 / 4

Теперь, используя точку A(-8;-4):
y - (-4) = (3 / 4)(x - (-8))
y + 4 = (3 / 4)(x + 8)
y + 4 = (3 / 4)x + 6
y = (3 / 4)x + 2

Уравнение стороны АВ: y = (3 / 4)x + 2
Угловой коэффициент стороны АВ: 3 / 4

Теперь найдем уравнение стороны АС. Для этого используем точку A(-8;-4) и C(2;-9).
m = (-9 - (-4)) / (2 - (-8))
= -5 / 10
= -1 / 2

Теперь, используя точку A(-8;-4):
y - (-4) = (-1 / 2)(x - (-8))
y + 4 = (-1 / 2)(x + 8)
y + 4 = (-1 / 2)x - 4
y = (-1 / 2)x - 8

Уравнение стороны АС: y = (-1 / 2)x - 8
Угловой коэффициент стороны АС: -1 / 2

3) Внутренний угол А можно найти с помощью тангенса:
tan(α) = (m2 - m1) / (1 + m1m2)

где m1 и m2 - угловые коэффициенты сторон АВ и АС соответственно.

Подставим значения угловых коэффициентов:
tan(α) = ((-1 / 2) - (3 / 4)) / (1 + (-1 / 2)(3 / 4))
= (-2 / 4) / (1 + (-1 / 2)(3 / 4))
= (-1 / 2) / (1 - (3 / 8))
= (-1 / 2) / (5 / 8)
= (-1 / 2) * (8 / 5)
= -4 / 5

Теперь найдем α:
α = arctan(-4 / 5)

Получаем, что внутренний угол А в радианах равен arctan(-4 / 5).

4) Уравнение высоты CD можно найти, используя уравнение прямой АВ и точку C(2;-9).
Сначала найдем угловой коэффициент высоты. Поскольку высота перпендикулярна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным:

m_cd = -1 / (3 / 4) = -4 / 3

Теперь, используя точку C(2;-9):
y - (-9) = (-4 / 3)(x - 2)
y + 9 = (-4 / 3)(x - 2)
y + 9 = (-4 / 3)x + 8 / 3
y = (-4 / 3)x - 9 + 8 / 3
y = (-4 / 3)x - 19 / 3

Уравнение высоты CD: y = (-4 / 3)x - 19 / 3

Чтобы найти длину высоты, нужно найти расстояние между точкой C(2;-9) и прямой АВ.
Это можно сделать с помощью формулы расстояния от точки до прямой:

d(CD) = |Ax + By + C| / √(A² + B²)

где A, B и C - коэффициенты уравнения высоты.

Для уравнения y = (-4 / 3)x - 19 / 3, коэффициенты равны:
A = -4 / 3, B = 1 и C = -19 / 3

Подставим значения в формулу:
d(CD) = |2(-4 / 3) + (-9) - (-19 / 3)| / √((-4 / 3)² + 1²)

Упростим:
d(CD) = |(-8 / 3) - 27 / 3 + 19 / 3| / √(16 / 9 + 1)
= |-16 / 3| / √(16 / 9 + 1)
= 16 / 3 / √(16 / 9 + 1)
= 16 / 3 / √(144 / 81 + 81 / 81)
= 16 / 3 / √(225 / 81)
= 16 / 3 / (√225 / √81)
= 16 / 3 / (15 / 9)
= (16 / 3) * (9 / 15)
= 48 / 15
= 16 / 5

Таким образом, длина высоты CD равна 16 / 5.

5) Уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром, можно найти, используя координаты центра окружности и её радиус.

Центр окружности будет находиться на середине высоты CD, поэтому найдем координаты центра:

x_centre = (x_C + x_D) / 2
= (2 + (-8)) / 2
= -6 / 2
= -3

y_centre = (y_C + y_D) / 2
= (-9 + (-4)) / 2
= -13 / 2

Таким образом, центр окружности имеет координаты (-3; -13 / 2).

Радиус окружности равен половине длины высоты CD, поэтому радиус будет равен (16 / 5) / 2 = 8 / 5.

Теперь, используя координаты центра окружности и радиус, уравнение окружности будет иметь вид:
(x - x_centre)² + (y - y_centre)² = r²

Подставим значения:
(x - (-3))² + (y - (-13 / 2))² = (8 / 5)²
(x + 3)² + (y + 13 / 2)² = 64 / 25

Уравнение окружности: (x + 3)² + (y + 13 / 2)² = 64 / 25