А) Дан треугольник АВС с вершинами А(11;-2;-9), В(2;6;-4), С(8;-6;-8). Найдите длину медианы АК.
б) На оси аппликат найдите точку А, равноудаленную от точек М(-2;3;5) и К(3;-5;1).
в) Существует ли параллельный перенос, при котором точка К(-3;-2;5) переходит в точку К' (2;4;1), а точка М(2;-7;4) в точку М' (7;-1;8)?
а) Для нахождения длины медианы АК нам необходимо сначала найти координаты точки К, которая является серединой стороны ВС (медиана делит сторону пополам). Для этого мы можем воспользоваться формулой нахождения середины отрезка:
Координата x точки К равна среднему арифметическому x-координат точек В и С: xк = (xв + xс) / 2.
Аналогично, координаты y и z точки К мы находим, используя формулы yк = (yв + yс) / 2 и zк = (zв + зс) / 2.
Давайте подставим координаты точек В и С в формулы и найдем координаты точки К:
xк = (2 + 8) / 2 = 10/2 = 5
yк = (6 + (-6)) / 2 = 0/2 = 0
zк = (-4 + (-8)) / 2 = -12/2 = -6
Таким образом, координаты точки К равны (5, 0, -6).
Теперь нам нужно найти длину отрезка АК. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²),
где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки А, (x₂, y₂, z₂) - координаты точки К.
Подставим значения и вычислим:
d = √((5 - 11)² + (0 - (-2))² + (-6 - (-9))²)
= √(6² + 2² + 3²)
= √(36 + 4 + 9)
= √49
= 7.
Таким образом, длина медианы АК равна 7 единицам.
б) Чтобы найти точку А, равноудаленную от точек М и К, мы можем воспользоваться симметричным свойством. Расстояние от точки А до точки М равно расстоянию от точки А до точки К. Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² + (z₃ - z₁)²),
где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки А, (x₂, y₂, z₂) - координаты точки М, (x₃, y₃, z₃) - координаты точки К.
Подставим значения и преобразуем выражение:
√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² + (z₃ - z₁)²)
√((-2 - x₁)² + (3 - y₁)² + (5 - z₁)²) = √((3 - x₁)² + (-5 - y₁)² + (1 - z₁)²).
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(-2 - x₁)² + (3 - y₁)² + (5 - z₁)² = (3 - x₁)² + (-5 - y₁)² + (1 - z₁)².
Раскроем скобки и упростим выражение:
(-2 - x₁)² + (3 - y₁)² + (5 - z₁)² = (x₁ - 3)² + (y₁ + 5)² + (z₁ - 1)².
Перегруппируем слагаемые:
(-2 - x₁)² - (x₁ - 3)² + (3 - y₁)² - (y₁ + 5)² + (5 - z₁)² - (z₁ - 1)² = 0.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
(-2 - x₁)² - (x₁ - 3)² + (3 - y₁)² - (y₁ + 5)² + (5 - z₁)² - (z₁ - 1)² = 0.
x₁² + 4x₁ + 4 - (x₁² - 6x₁ + 9) + y₁² - 6y₁ + 9 - (y₁² + 10y₁ + 25) + z₁² - 10z₁ + 25 - (z₁² - 2z₁ + 1) = 0.
Раскроем скобки и сократим подобные члены:
4x₁ - 6x₁ - 6y₁ + 10y₁ - 10z₁ + 2z₁ = -6.
Оставим только переменные:
-2x₁ + 4y₁ - 8z₁ = -6.
Таким образом, координаты точки А будут решением системы уравнений:
{
-2x₁ + 4y₁ - 8z₁ = -6.
Решим эту систему уравнений. Подставим любую произвольную переменную (например, примем x₁ = 0) и найдем значения остальных переменных:
-2(0) + 4y₁ - 8z₁ = -6,
4y₁ - 8z₁ = -6,
2y₁ - 4z₁ = -3.
Таким образом, имеем систему уравнений:
{
4y₁ - 8z₁ = -6,
2y₁ - 4z₁ = -3.
Для решения этой системы можно применить метод Гаусса или подставить значение одной из переменных из первого уравнения во второе и решить его относительно другой переменной:
2y₁ - 4z₁ = -3,
y₁ - 2z₁ = -3/2.
Подставим решение z₁ = 0 (из первого уравнения) во второе уравнение:
y₁ - 2(0) = -3/2,
y₁ = -3/2.
Таким образом, получаем значения переменных:
x₁ = 0,
y₁ = -3/2,
z₁ = 0.
Таким образом, координаты точки А равны (0, -3/2, 0).
в) Чтобы определить, существует ли параллельный перенос, при котором точка К(-3;-2;5) переходит в точку К'(2;4;1), а точка М(2;-7;4) в точку М' (7;-1;8), нужно сравнить изменение координат между начальными и конечными точками.
Для точки К:
∆x = 2 - (-3) = 5,
∆y = 4 - (-2) = 6,
∆z = 1 - 5 = -4.
Для точки М:
∆x = 7 - 2 = 5,
∆y = -1 - (-7) = 6,
∆z = 8 - 4 = 4.
Теперь сравним изменения координат для точек К и М. Если разности всех координат совпадают, то параллельный перенос существует.
Для точек К и М:
∆x = 5,
∆y = 6,
∆z = -4.
Мы видим, что разности всех координат различаются. Это означает, что параллельный перенос, при котором точка К(-3;-2;5) переходит в точку К'(2;4;1), а точка М(2;-7;4) в точку М' (7;-1;8), не существует.
Надеюсь, мои развернутые ответы помогут вам лучше понять данную материю. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.