Добрый день! Рад помочь вам с решением уравнения и нахождением всех корней в заданном промежутке.
A) Начнем с решения уравнения 2sin2x-√2cosx=√2sinx:
1. Проанализируем выражение 2sin2x-√2cosx. Заметим, что у нас есть синус квадрата и косинус в данном уравнении. Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения выражения.
2. Для начала, применим тождество "синус двойного угла": sin2x = 2sinxcosx. Подставим это в наше уравнение:
2(2sinxcosx)-√2cosx=√2sinx.
A) Начнем с решения уравнения 2sin2x-√2cosx=√2sinx:
1. Проанализируем выражение 2sin2x-√2cosx. Заметим, что у нас есть синус квадрата и косинус в данном уравнении. Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения выражения.
2. Для начала, применим тождество "синус двойного угла": sin2x = 2sinxcosx. Подставим это в наше уравнение:
2(2sinxcosx)-√2cosx=√2sinx.
3. Упростим полученное уравнение: 4sinxcosx-√2cosx=√2sinx.
4. Вынесем общий множитель cosx из первого слагаемого: (4sinx-√2)cosx=√2sinx.
5. Разделим обе части уравнения на sinx (при условии, что sinx ≠ 0) для упрощения: 4-√2cotx=√2.
6. Приведем все слагаемые с cotx на левой стороне уравнения: -√2cotx=√2-4.
7. Домножим обе части уравнения на √2, чтобы избавиться от корней: -2cotx=2√2-8.
8. Разделим обе части уравнения на -2: cotx = (8-2√2)/2.
9. Найдем значение cotx: cotx = 4-√2.
Таким образом, получаем значение cotx равное 4-√2.
Теперь перейдем ко второй части задачи:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-5π/2 ; -π).
1. Решим уравнение cotx = 4-√2 для указанного промежутка.
2. Заметим, что cotx = 4-√2 является приведенной формой уравнения тангенса.
3. Найдем x, зная значение tangx: x = arctan(4-√2).
4. В данном промежутке (-5π/2 ; -π) не существует значений углов, для которых arctan(4-√2) принимает значения.
Таким образом, в указанном промежутке уравнение 2sin2x-√2cosx=√2sinx не имеет корней.
Надеюсь, что данное объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!