А1(-12;-2):А2(-10;0);А3(-8;2);А4(-5;1);А5(-1;4);А6(4;1);А7(6;-1);А8(10;2) начертить графики функций и исследовать функции

525

Пошаговое объяснение:

Обозначим три числа как x - первое, y - второе, z - третье

х = 5/9*у (5/9 от второго)

у = х + 72 (второе на 72 больше первого) → подставим вместо х его значение 5/9*у)

у = 5/9у + 72

у - 5/9у = 72

4/9у = 72

у = 72 : 4/9 = 72 * 9/4

у = 162 (второе число) → подставим  это значение у в выражение х = 5/9*у:

х = 5/9*162

х = 90 (первое число)

z = 5/7(90+162+z) - третье число составляет 5/7 от суммы трёх чисел

z = 5/7(252 + z)

z = 180 + 5/7z

z - 5/7z = 180

2/7z = 180

z = 180 : 2/7 = 180 * 7/2

z = 630 - третье число - наибольшее слагаемое

5/6 * 630 = 525 -  5/6  наибольшего слагаемого 630

Проверим:

первое число 90

второе число 162

третье число 630

162 - 90 = 72 - второе число больше первого на 72

5/9 * 162 = 90 -  первое слагаемое составляет 5/9 от второго

5/7(90+162+630) = 5/7*882 = 630 - третье число составляет 5/7 от суммы трёх чисел

Дано: ;
Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .

D(f) ≡ R \ {0} ≡ ;

2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:

;

Найдём первую производную функции y(x) :

;

;

При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.

3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:

;

Если приравнять функцию к нолю, получим:

;

;

;

– что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;

Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.

4. Найдем асимптоты y(x).

По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .

Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± :

;

Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;

Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.

5. Первая производная функции y(x) :

– положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;

Значит, функция возрастает на и убывает на ;

Уравнение т.е. – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.

6. Найдём вторую производную функции y(x) :

;

при любых значениях аргумента ;

В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.

Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.

7.

При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;

При х = ± 2 : : : y(x) = 3.25 ;

При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;

Строим график: