Алексей вильнюсов наугад выбирает два натуральных числа p и q. найдите вероятность, что дробь p/q окажется несократимой.

Пошаговое объяснение:

Ясно, что дробь является сократимой, если у p и q есть общий простой делитель. Вероятность того, что произвольное число делится на простое  число есть очевидно , а что не делится . Также ясно, что делимость на разные простые числа - события независимые. Из вышесказанного следует, что вероятность того, что дробь не сокращается на простое число

Вспомним формулу суммы геометрической прогрессии:

Отсюда

Сделаем такое с каждой скобкой в нашем выражении для :

Тогда

Легко увидеть, что это равно

т. е. сумме ряда обратных квадратов. Его значение можно легко получить например разложив в ряд Фурье и посмотрев значение в точке . Итак, сумма этого ряда есть

Откуда получаем ответ.