За умовою маємо AOC = 120 градусів.
Оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, маємо BOC = 180 - AOC = 60 градусів.
За умовою також маємо співвідношення AOB : BOC = 1:5.
Нехай AOB = x, тоді BOC = 5x.
За теоремою синусів для трикутника АОВ маємо:
sin120/sinx = OA/OV
Оскільки OA = OV, то sin120/sinx = 1.
Отже, sinx = sin120 = √3/2.
Так як 0 < x < 180, маємо два можливих значення для x: x = 60 або x = 120.
Якщо x = 60, то AOB:BOC = 1:5, а ОАВ + ВОС + СОА = 180°, тоді ОАВ = 60°, а ОВС = СОА = 60°.
Отже, ми маємо трикутник з кутами 60°, 60° та 60°, який є правильним трикутником. Тоді АOB = BOC = 60 градусів.
Якщо x = 120, то AOB:BOC = 1:5, а ОАВ + ВОС + СОА = 180°, тоді ОВС = 60°, а ОАВ = СОА = 60/2 = 30°.
Отже, ми маємо трикутник з кутами 30°, 60° та 90°, де кут між А та О дорівнює 30 градусам, тоді АOB = 90°/2 = 45°, а БОС = 60° - 45° = 15°.
Отже, відповідь: AOB дорівнює 60 градусів або 45 градусів.
За умовою маємо AOC = 120 градусів.
Оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, маємо BOC = 180 - AOC = 60 градусів.
За умовою також маємо співвідношення AOB : BOC = 1:5.
Нехай AOB = x, тоді BOC = 5x.
За теоремою синусів для трикутника АОВ маємо:
sin120/sinx = OA/OV
Оскільки OA = OV, то sin120/sinx = 1.
Отже, sinx = sin120 = √3/2.
Так як 0 < x < 180, маємо два можливих значення для x: x = 60 або x = 120.
Якщо x = 60, то AOB:BOC = 1:5, а ОАВ + ВОС + СОА = 180°, тоді ОАВ = 60°, а ОВС = СОА = 60°.
Отже, ми маємо трикутник з кутами 60°, 60° та 60°, який є правильним трикутником. Тоді АOB = BOC = 60 градусів.
Якщо x = 120, то AOB:BOC = 1:5, а ОАВ + ВОС + СОА = 180°, тоді ОВС = 60°, а ОАВ = СОА = 60/2 = 30°.
Отже, ми маємо трикутник з кутами 30°, 60° та 90°, де кут між А та О дорівнює 30 градусам, тоді АOB = 90°/2 = 45°, а БОС = 60° - 45° = 15°.
Отже, відповідь: AOB дорівнює 60 градусів або 45 градусів.