Вот что удалось получить Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2. В каждой скобке раскрываем произведение по формуле: sin(180 - a) = sin a Аналогично и остальные A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2= = 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2 В каждой скобке раскрываем произведение по формуле sin(90 - a) = cos a Аналогично и остальные A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 = =16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле Аналогично и остальные A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)* *4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)* *4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)* *4sin^2(88)*4 = ? Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится 4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 = = 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2 Но ничего хорошего из этого не получается.
Было 1. Разделили на 3 части, стало 3. 2 части оставили в покое, одну разделили на 3, стало 5. 4 части не трогали, одну разделили на 3, стало 7. И т.д.
Просматривается арифметическая прогрессия с первым членом равным 1 и шагом 2. Если просуммировать все полученные части, то можно узнать, получится всего 100 частей или нет. Пусть n - число членов арифметической прогрессии. Найдём, при каком n сумма будет равна 100. Если n окажется целым, то это возможно, если нет - невозможно.
Итак, Гоша сможет получить 100 кусочков стенгазеты за 10 раз, считая с момента срывания стенгазеты со стены.
Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2.
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле:
sin(180 - a) = sin a
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2=
= 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A
Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле
sin(90 - a) = cos a
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 =
=16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A
Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)*
*4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)*
*4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)*
*4sin^2(88)*4 = ?
Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится
4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 =
= 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2
Но ничего хорошего из этого не получается.
Разделили на 3 части, стало 3.
2 части оставили в покое, одну разделили на 3, стало 5.
4 части не трогали, одну разделили на 3, стало 7.
И т.д.
Просматривается арифметическая прогрессия с первым членом равным 1 и шагом 2. Если просуммировать все полученные части, то можно узнать, получится всего 100 частей или нет. Пусть n - число членов арифметической прогрессии. Найдём, при каком n сумма будет равна 100. Если n окажется целым, то это возможно, если нет - невозможно.
Итак, Гоша сможет получить 100 кусочков стенгазеты за 10 раз, считая с момента срывания стенгазеты со стены.