Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем k,\,n\in Z (на всякий случай, эта запись означает, что числа n и k принадлежат множеству целых чисел):
\[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]
Арккосинус a есть число, заключенное в интервале от 0 до \pi, косинус которого равен a.
Арксинус a есть число, заключенное в интервале от -\pi до \pi, косинус которого равен a.
Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка [0;2\pi], косинус которого был бы равен -\frac{\sqrt{2}}{2}. Это число \frac{3\pi}{4}. Используя это, получаем:
Решение простейших тригонометрических уравнений
Пример 1. Найдите корни уравнения
\[ \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \]
принадлежащие промежутку [-\pi;\pi).
Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем k,\,n\in Z (на всякий случай, эта запись означает, что числа n и k принадлежат множеству целых чисел):
\[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]
Арккосинус a есть число, заключенное в интервале от 0 до \pi, косинус которого равен a.
Арксинус a есть число, заключенное в интервале от -\pi до \pi, косинус которого равен a.
Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка [0;2\pi], косинус которого был бы равен -\frac{\sqrt{2}}{2}. Это число \frac{3\pi}{4}. Используя это, получаем:
\[ 4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right. \]
1/3 и 2/5 - общий знаменатель 3•5 = 15
1/3 = 5•1/(5•3) = 5/15
2/5 = 3•2/(3•5) = 6/15
5/15 < 6/15
Значит, 1/3 < 2/5
4/15 и 3/7 - общий знаменатель 15•7 = 105
4/15 = 7•4/(7•15) = 28/105
3/7 = 15•3/(15•7) = 45/105
28/105 < 4/105
Значит, 4/15 < 3/7
7/24 и 13/30
Найдём общий знаменатель через НОК
НОК (24; 30) = 2•2•2•3•5 = 120, так как
24 = 2•2•2•3
30 = 2•3•5
Общий знаменатель 120
Найдем множители:
120:24 = 5 для дроби 7/24
120:3 = 4 для дроби 13/30
Приводим дроби к общему знаменателю:
7/24 = 5•7/(5•24) = 35/120
13/30 = 4•13/(4•30) = 52/120
35/120 < 52/120
Значит, 7/24 < 13/30