Бесконечная клетчатая плоскость раскрашена в четыре цвета. Докажите существование равнобедренного прямоугольного треугольника с вершинами в центрах граней одного цвета.

Пусть х скорость первого мопеда, а скорость второго у. До места встречи первый ехал 1 ч 15 мин=1,25 ч и проехал 1,25х, второй мопед до места встречи ехал 48 мин = 0,8 ч и проехал 0,8у , а всего вместе проехали 90 км. На всё расстояние второй затратил времени меньше на 1,25-0,8=0,45 ч. Составим  уравнение расстояния и выделим х:
1,25х+0,8у=90
1,25х=90-0,8у
х=72-0,64у
Составим уравнение времени и подставим значение х:
90/х-90/у=0,45;
90/(72-0,64у)-90/у=0,45
90у-90(72-0,64у)=0,45у(72-0,64у)
90у-6480+57,6у=32,4у-0,288у²
0,288у²+115,2у-6480=0 ; (делим все части уравнения на 0,288)
у²+400-22500=0
D=250000
у₁=-450 км/ч не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной.
у₂=50 км/ч скорость второго мопеда.
х=72-0,64×50=40 км/ч скорость первого мопеда.
ответ: 40 км/ч скорость первого мопеда; 50 км/ч скорость второго мопеда.

Т.к. по условию все скаты находятся под одим углом, то многогранник, образованный скатами крыши и потолком является правильной четырехугольной призмой, основание такой призмы - квадрат, пусть длина его стороны = a.
Рассмотри вертикальное сечение этой пирамиды через его вершину. Образованный треугольник - равнобедренный, имеет основание = a, пусть две другие стороны = x, тогда, опустив высоту на основание этого треугольника, найдем x = a/(2 cos 34). С другой стороны, x - высота треугольника (любого из скатов крыши), тогда площадь ската S_1 = a*x/2 = a²/(4 cos 34), а площадь всей крыши: S_4 = 4*S_1 = a²/cos 34 = S_потолка / cos 34 = 31 / 0.83 ≈ 37.3 м²