Целые числа a и b таковы, что у квадратных трёхчленов x2+ax+b и x2+bx+1100 есть общий корень, являющийся простым числом. Найдите a. Укажите все возможные варианты.
У данных квадратных трехчленов равны старшие коэффициенты. Дискриминант первого трехчлена равен a*a-4b, второго b*b-4400. Чтобы у них был общий корень составим уравнение и решим его
a*a-4b=b*b-4400
a*a=b*b+4b-4400
a*a+4400=b*b+4b
a*a+4404=b*b+4b+4
a*a+4404=(b+2)(b+2)
4404=(b+2)(b+2)-a*a
4404=(b+2-a)(b+2+a)
Разность этих двух скобок равна (b+2-a)-(b+2+a)=2a. По условию a - целое число, поэтому 2a - точно четное число. Значит, обе скобки одной четности. Их произведение 4404 четно, следовательно оба множителя четны.
Далее надо разложить 4404 на простые множители: 4404=2*2*3*367. Его можно разложить в произведение двух четных чисел двумя или 6*734.
364 или 1100
Пошаговое объяснение:
У данных квадратных трехчленов равны старшие коэффициенты. Дискриминант первого трехчлена равен a*a-4b, второго b*b-4400. Чтобы у них был общий корень составим уравнение и решим его
a*a-4b=b*b-4400
a*a=b*b+4b-4400
a*a+4400=b*b+4b
a*a+4404=b*b+4b+4
a*a+4404=(b+2)(b+2)
4404=(b+2)(b+2)-a*a
4404=(b+2-a)(b+2+a)
Разность этих двух скобок равна (b+2-a)-(b+2+a)=2a. По условию a - целое число, поэтому 2a - точно четное число. Значит, обе скобки одной четности. Их произведение 4404 четно, следовательно оба множителя четны.
Далее надо разложить 4404 на простые множители: 4404=2*2*3*367. Его можно разложить в произведение двух четных чисел двумя или 6*734.
Разберем первый случай.
2*2202=(b+2-a)(b+2+a)
b+2-a=2 и b+2+a=2202
(b+2+a)-(b+2-a)=2a
(b+2+a)-(b+2-a)=2202-2=2200
2a=2200
a=1100
Разберем второй случай.
6*734=(b+2-a)(b+2+a)
b+2-a=6 и b+2+a=734
(b+2+a)-(b+2-a)=2a
(b+2+a)-(b+2-a)=734-6=728
2a=728
a=364
Итого возможны два ответа: 364 и 1100.