Целые числа a и b таковы, что у квадратных трёхчленов x2+ax+b и x2+bx+1300 есть общий корень, являющийся простым числом. Найдите a. Укажите все возможные варианты.
Пошаговое объяснение:У данных квадратных трехчленов равны старшие коэффициенты. Дискриминант первого трехчлена равен a*a-4b, второго b*b-5200. Чтобы у них был общий корень составим уравнение и решим его
a*a-4b=b*b-5200
a*a=b*b+4b-5200
a*a+5200=b*b+4b
a*a+5204=b*b+4b+4
a*a+5204=(b+2)(b+2)
5204=(b+2)(b+2)-a*a
5204=(b+2-a)(b+2+a)
Разность этих двух скобок равна (b+2-a)-(b+2+a)=2a. По условию a - целое число, поэтому 2a - точно четное число. Значит, обе скобки одной четности. Их произведение 5204 четно, следовательно оба множителя четны.
Далее надо разложить 5204 на простые множители: 5204=2*2*1301. Его можно разложить в произведение двух четных чисел только двумя или (-2)*(-2602 )
-1300 или 1300
Пошаговое объяснение:
Приравниваем дискриминанты, получаем уравнение в целых числах. У него два решения для a: -1300 или 1300
Пошаговое объяснение:У данных квадратных трехчленов равны старшие коэффициенты. Дискриминант первого трехчлена равен a*a-4b, второго b*b-5200. Чтобы у них был общий корень составим уравнение и решим его
a*a-4b=b*b-5200
a*a=b*b+4b-5200
a*a+5200=b*b+4b
a*a+5204=b*b+4b+4
a*a+5204=(b+2)(b+2)
5204=(b+2)(b+2)-a*a
5204=(b+2-a)(b+2+a)
Разность этих двух скобок равна (b+2-a)-(b+2+a)=2a. По условию a - целое число, поэтому 2a - точно четное число. Значит, обе скобки одной четности. Их произведение 5204 четно, следовательно оба множителя четны.
Далее надо разложить 5204 на простые множители: 5204=2*2*1301. Его можно разложить в произведение двух четных чисел только двумя или (-2)*(-2602 )
Разберем первый случай.
2*2602=(b+2-a)(b+2+a)
b+2-a=2 и b+2+a=2602
(b+2+a)-(b+2-a)=2a
(b+2+a)-(b+2-a)=2602-2=2600
2a=2600
a=1300
Разберем второй случай.
(-2)*(-2602 )=(b+2-a)(b+2+a)
b+2-a=-2 и b+2+a=-2602
(b+2+a)-(b+2-a)=2a
(b+2+a)-(b+2-a)=-2600
2a=-2600
a=-1300
Итого возможны два ответа: 1300 и -1300