Осталось подобрать S(x) таким образом, чтобы R(x) был многочленом степени не выше второй. P(x) = ax^2 + bx + c Q(x) = dx^2 + ex + f Положим S(x) = gx + h, найдём g и h.
Нужно найти количество степеней 10ки в произведении 19*20*...*35. 10 = 2*5. Очевидно в данном в условии произведении степеней двойки больше, чем степеней пятерки. Найдем степень пятерки в произведении 19*20*21*...*35, таким образом найдем и степень десятки. 19 20 - 5, 21 22 23 24 25 - 5^2 26 27 28 29 30 - 5 31 32 33 34 35 - 5 Таким образом 19*20*...*35 делится нацело на 5^5 и не делится на 5^6. Степеней двойки - еще больше, чем степеней пятерки. Поэтому данное в условии произведение делится на 10^5 (и не делится на 10^6). Поэтому данное в условии произведение оканчивается пятью нулями.
Осталось подобрать S(x) таким образом, чтобы R(x) был многочленом степени не выше второй.
P(x) = ax^2 + bx + c
Q(x) = dx^2 + ex + f
Положим S(x) = gx + h, найдём g и h.
P(x) Q(x) - S(x) (x - 8)(x - 12)(x - 2017) = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) - (gx + h)(x - 8)(x - 12)(x - 2017)
Коэффициент при x^4:
ad - g = 0
g = ad
Коэффициент при x^3:
ae + bd - h - 8g - 12g - 2017g = 0
h = ae + bd - 2037g = ae + bd - 2037ad
g и h получились целыми числами, значит, найденный R(x) удовлетоворяет условию.
10 = 2*5.
Очевидно в данном в условии произведении степеней двойки больше, чем степеней пятерки.
Найдем степень пятерки в произведении 19*20*21*...*35, таким образом найдем и степень десятки.
19
20 - 5,
21
22
23
24
25 - 5^2
26
27
28
29
30 - 5
31
32
33
34
35 - 5
Таким образом 19*20*...*35 делится нацело на 5^5 и не делится на 5^6.
Степеней двойки - еще больше, чем степеней пятерки.
Поэтому данное в условии произведение делится на 10^5 (и не делится на 10^6).
Поэтому данное в условии произведение оканчивается пятью нулями.