Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
1) Область определения и область допустимых значений функции. Область определения данной функции - все множество действительных чисел D(f)=R. . 2) Четность, нечетность функции. f(-x) = -((-x)³ + (-x) = x³ - x = -(-x³ + x). Функция нечётная. 3) Точки пересечения с осями. х = 0 у = 0, у = 0 = -х³+х = х(1 - х²) = х(1-х)(1+х) = 0. Имеем 3 точки пересечения с осью х: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = -1. 4) Асимптоты функции - их нет. 5) Экстремумы и интервалы монотонности. Производная функции равна y ' = 1 - 3x². Нули функции х = +-√3. Функция возрастает на промежутке -√3 < x < √3. На промежутке -∞ < х < -√3, √3 < x < ∞ убывает.6)Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости. Вторая производная равна -6х. Нулю она равна при х = 0 - это точка перегиба графика функции. При х < 0 график вогнутый, при x > 0 - выпуклый.
7) Построение графика по результатам исследования - в приложении.
Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
1) Область определения и область допустимых значений функции.Область определения данной функции - все множество действительных чисел D(f)=R.
.
2) Четность, нечетность функции.
f(-x) = -((-x)³ + (-x) = x³ - x = -(-x³ + x).
Функция нечётная.
3) Точки пересечения с осями.
х = 0 у = 0,
у = 0 = -х³+х = х(1 - х²) = х(1-х)(1+х) = 0.
Имеем 3 точки пересечения с осью х:
х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = -1.
4) Асимптоты функции - их нет.
5) Экстремумы и интервалы монотонности.
Производная функции равна y ' = 1 - 3x².
Нули функции х = +-√3.
Функция возрастает на промежутке -√3 < x < √3.
На промежутке -∞ < х < -√3, √3 < x < ∞ убывает.6)Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
Вторая производная равна -6х.
Нулю она равна при х = 0 - это точка перегиба графика функции. При х < 0 график вогнутый, при x > 0 - выпуклый.
7) Построение графика по результатам исследования - в приложении.
2) Проверим четность
Так как
то функция не является четно и нечетной. Функция общего вида.
3) Точки пересечения с осью Оу: х = 0
т.е. точка А(0; 3)
4) Найдем производную
5) Найдем точке экстремума y' = 0
Получилась одна критическая точка
6) Найдем значение производной слева и справа от 1
до х=1 функция возрастает
после х=1 функция убывает
Производная меняет знак с "+" на "-" - значит х=1 точка максимума
7) Построим график функции. Данные для построение и сам график, представлены ниже