Пусть число, состоящее из цифр 3, имеет длину n. Тогда его можно расписать как сумму геометрической прогрессии: 3+3*10^1+3*10^2++3*10^(n-1)=3*(10^n-1)/(10-1)=(10^n-1)/3 Это число должно делиться на 17. Значит, и число 10^n-1 должно делиться на 17. 10^n-1≡0(mod 17) или 10^n≡1 (mod 17) Как известно, из малой теоремы Ферма следует, что a^(p-1)≡1 (mod p), где p - некоторое простое число, а НОД(a,p)=1. Здесь a=10, p=17. Следовательно, наименьшим n является p-1=16, при котором число, состоящее из 16 троек делится на 17.
3+3*10^1+3*10^2++3*10^(n-1)=3*(10^n-1)/(10-1)=(10^n-1)/3
Это число должно делиться на 17. Значит, и число 10^n-1 должно делиться на 17.
10^n-1≡0(mod 17) или 10^n≡1 (mod 17)
Как известно, из малой теоремы Ферма следует, что a^(p-1)≡1 (mod p), где p - некоторое простое число, а НОД(a,p)=1. Здесь a=10, p=17. Следовательно, наименьшим n является p-1=16, при котором число, состоящее из 16 троек делится на 17.
а) 216 = 6³ = 2³ · 3³;
162 = 2 · 81 = 2 · 3⁴;
144 = 12² = 2⁴ · 3²;
512 = 2 · 256 = 2² · 128 = 2³ · 64 = 2³ · 2⁶ = 2⁹;
675 = 5 · 135 = 5² · 27 = 3³ · 5²;
1024 = 512 · 2 = 2⁹ · 2 = 2¹⁰;
б) 60 = 4 · 15 = 2² · 3 · 5;
180 = 60 · 3 = 2² · 3² · 5;
220 = 22 · 10 = 2² · 5 · 11;
350 = 10 · 35 = 2 · 5² · 7;
1200 = 12 · 100 = 2² · 3 · 4 · 25 = 2⁴ · 3 · 5²;
8000 = 8 · 1000 = 2³ · 8 · 125 = 2³ · 2³ · 5³ = 2⁶ · 5³;
в) 11 = 11;
1001 = 7 · 11 · 13;
1225 = 5 · 245 = 5² · 49 = 5² · 7²;
21780 = 2 · 10890 = 2² · 5445 = 2² · 5 · 1089 = 2² · 5 · 9 · 121 = 2² · 3² · · 5 · 11²;
45630 = 2 · 22815 = 2 · 5 · 4563 = 2 · 5 · 9 · 507 = 2 · 3² · 5 · 3 · 169 =
= 2 · 3³ · 5 · 13².