Доказательство первого признака подобия через данные треугольники: Рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1, у которых А1В1 = 2AB, А1С1 = 2АС и ∠А = ∠А1.
Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что А1С1 = 2AC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам. Найдем стороны AC и А1С1 по теореме косинусов:
AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos А
А1С12 =А1В12 + В1С12 – 2 · А1В1 · В1С1 · cos А1
Так как ∠А1 = ∠А и AB = 2А1В1, BC = 2В1С1, то мы можем выразить квадрат стороны АС через угол и стороны треугольника ABC:
А1С1^2 = (2AB)^2 + (2BC)^2 – 2 · 2AB · 2BC · cos А
Вынесем 2 за скобку:
А1С1^2= 2(AB^2 + BC^2 – 2 · AB · BC · cos B)
Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:
А1С1^2 = 2AC^2
Отсюда получаем, что А1С1 = 2AC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.
Three workers, Murat, Askar and Arman, were hired to renovate the office space. Murat will complete the renovation in two days. Askar will do it in three days, and Armand in six days. Answer the following questions:
Question 1: How many days will it take for workers to complete the repair work together?
Question 2: If Murat first does 1/3 of the work, then Askar does the rest, and Armand does the rest, how many days will the work be completed?
Question 3: Who carries out repairs quickly: when does Murat work alone? or when Askar and Arman work together? Question 4: If Murat, Askar and Arman do the work together and receive 45,000 tenge, how much will each of them receive?
Question 5: On the first day Murat worked alone, and from the second day he worked
Пошаговое объяснение:
Доказательство первого признака подобия через данные треугольники: Рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1, у которых А1В1 = 2AB, А1С1 = 2АС и ∠А = ∠А1.
Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что А1С1 = 2AC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам. Найдем стороны AC и А1С1 по теореме косинусов:
AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos А
А1С12 =А1В12 + В1С12 – 2 · А1В1 · В1С1 · cos А1
Так как ∠А1 = ∠А и AB = 2А1В1, BC = 2В1С1, то мы можем выразить квадрат стороны АС через угол и стороны треугольника ABC:
А1С1^2 = (2AB)^2 + (2BC)^2 – 2 · 2AB · 2BC · cos А
Вынесем 2 за скобку:
А1С1^2= 2(AB^2 + BC^2 – 2 · AB · BC · cos B)
Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:
А1С1^2 = 2AC^2
Отсюда получаем, что А1С1 = 2AC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.
Three workers, Murat, Askar and Arman, were hired to renovate the office space. Murat will complete the renovation in two days. Askar will do it in three days, and Armand in six days. Answer the following questions:
Question 1: How many days will it take for workers to complete the repair work together?
Question 2: If Murat first does 1/3 of the work, then Askar does the rest, and Armand does the rest, how many days will the work be completed?
Question 3: Who carries out repairs quickly: when does Murat work alone? or when Askar and Arman work together? Question 4: If Murat, Askar and Arman do the work together and receive 45,000 tenge, how much will each of them receive?
Question 5: On the first day Murat worked alone, and from the second day he worked
Пошаговое объяснение:
verified online mektep