Числа 1, 2, 3, 5, 9, 10 расставили в клетки фигуры, изображённой на рисунке, так, чтобы суммы чисел во всех столбцах (включая столбец из одной клетки) были равны. Какое число может стоять в самой верхней клетке? Укажите все возможные варианты.
а) Можно. Для этого удобно брать палочки, идущие подряд. Возьмем первые 5 палочек: .
Построим треугольник ABC: . Заметим, что , поэтому можно не рассматривать неравенства треугольника, включающие эту сторону. Осталось доказать, что . Действительно по формуле суммы геометрической прогрессии. Но . Проверим истинность этого неравенства: .
б) Предположим, что можно. Тогда, в частности, можно составить два одинаковых отрезка. Рассмотрим набор степеней числа , которые формируют первый отрезок. Пусть это числа , для второго отрезка возьмем степени . Получим (*). Теперь становится ясно, почему это не может быть верно. Ведь то, что мы видим, похоже на запись числа в системе счисления, пусть и "необычной". Но двух различных записей одного числа не бывает. Однако трудно говорить об этом, имея дробную систему счисления. Пусть , другими словами, степени расставлены по порядку. Умножим уравнение на , получим только целые числа вида . Пусть . Выберем такое число , что . Тогда число записано в системе счисления 190, поскольку, как легко видеть, . Отсюда и следует наше противоречие.
Впрочем, кажется, что это перебор, и можно было решить проще: в (*) вычеркнем равные члены с обеих сторон. Получим, что сумма разных степеней равна другой сумме разных степеней. Теперь в левой части к большим степеням перекинем с правой стороны меньшие, а для правой части наоборот. Значит, отрицательное число равно положительному. Противоречие.
Однако для тренировки, мне представляется, было полезно рассмотреть оба подхода.
8 человек ходят на оба кружка.
Пошаговое объяснение:
РЕШЕНО МУДROSTЕсли в классе 29 человек, а Костя один не ходит ни в один из двух кружков, то найдём сколько человек ходят на кружки:
29-1=28 (человек)- из класса ходят на кружки.
Найдём общее количество тех, ходят на два кружка и тех, кто ходит хотя-бы на один из кружков:
21+15=36 (человек)-это и те, что ходят на один кружок, и те, что ходят на оба кружка.
Теперь найдём количество человек, которые ходят на оба кружка:
36-28=8 (человек)-ходят и на музыкальный, и на математический кружки.
РЕШЕНО МУДROSTа) Можно. Для этого удобно брать палочки, идущие подряд. Возьмем первые 5 палочек:
.
Построим треугольник ABC:
. Заметим, что 
, поэтому можно не рассматривать неравенства треугольника, включающие эту сторону. Осталось доказать, что 
. Действительно 
по формуле суммы геометрической прогрессии. Но 
. Проверим истинность этого неравенства: 
.
б) Предположим, что можно. Тогда, в частности, можно составить два одинаковых отрезка. Рассмотрим набор степеней числа
, которые формируют первый отрезок. Пусть это числа 
, для второго отрезка возьмем степени 
. Получим 
(*). Теперь становится ясно, почему это не может быть верно. Ведь то, что мы видим, похоже на запись числа в системе счисления, пусть и "необычной". Но двух различных записей одного числа не бывает. Однако трудно говорить об этом, имея дробную систему счисления. Пусть 
, другими словами, степени расставлены по порядку. Умножим уравнение на 
, получим только целые числа вида 
. Пусть 
. Выберем такое число 
, что 
. Тогда число 
записано в системе счисления 190, поскольку, как легко видеть, 
. Отсюда и следует наше противоречие.
Впрочем, кажется, что это перебор, и можно было решить проще: в (*) вычеркнем равные члены с обеих сторон. Получим, что сумма разных степеней равна другой сумме разных степеней. Теперь в левой части к большим степеням перекинем с правой стороны меньшие, а для правой части наоборот. Значит, отрицательное число равно положительному. Противоречие.
Однако для тренировки, мне представляется, было полезно рассмотреть оба подхода.