Таким образом, мы получаем, что если хуz ≥ 1, то выражение в числителе будет больше нуля, что противоречит нашему предположению. Следовательно, хуz < 1.
Таким образом, мы доказали, что если выполнены неравенства 2х > у² + z², 2у > х² + z² и 2z > y² + x², то хуz < 1.
Предположим, что хуz ≥ 1, то есть хуz - 1 ≥ 0.
Умножим первое неравенство на x, второе на y и третье на z и сложим все полученные неравенства:
2х² + 2у² + 2z² > ху² + хz² + x²з + ху² + y²з + х²z + x²у + y²z + z³
2(х² + у² + z²) > ху(у + z) + х(у² + z²) + y(х² + z²) + z(х² + у² + z²)
Разделим все полученное неравенство на 2:
х² + у² + z² > (ху(у + z) + х(у² + z²) + y(х² + z²) + z(х² + у² + z²))/2
Приведем подобные слагаемые:
х² + у² + z² > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/2
Разделим обе части неравенства на (xy + yz + zx):
(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/(2(xy + yz + zx))
Перепишем знаменатель правой части:
(xy + yz + zx) = (xz + zx + yz) = (x+z)² - (x² + z²) + yz
Вернем это значение в неравенство:
(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/(2((x+z)² - (x² + z²) + yz))
Раскроем скобки в числителе второй части:
(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)
Приведем подобные слагаемые в числителе:
(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (х³ + ху³ + хz² + х³ + yх² + yz² + yх² + zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)
(x² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (2х³ + х³ + 2ху³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)
Сократим двойки в числителе:
(x² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)
Рассмотрим правую часть неравенства. Заметим, что (2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz) > 0, так как является суммой положительных слагаемых.
Теперь приведем к общему знаменателю все слагаемые в числителе правой части:
(3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz) = (3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2x² - 2z² + 2yz)
Разделим все слагаемые числителя на 2:
(3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2x² - 2z² + 2yz) = (3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(x² + 2xz + z² - x² - z² + yz)
Сократим 2 в числителе и знаменателе:
(3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(x² + 2xz + z² - x² - z² + yz) = (3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(2xz - yz + 2xz)
Разделим на 2 в числителе:
(3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(2xz - yz + 2xz) = (3х³/4 + y²/4 + yх²/2 + z²/4 + zх²/2 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz)
Заметим, что (xz - yz + xz) > 0, так как является суммой положительных слагаемых.
Теперь рассмотрим числитель:
(3х³/4 + y²/4 + yх²/2 + z²/4 + zх²/2 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz) = (3х³/4 + yх²/2 + y²/4 + zх²/2 + z²/4 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz)
Приведем подобные слагаемые в числителе:
(3х³/4 + yх²/2 + y²/4 + zх²/2 + z²/4 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz) = (3х³/4 + yх²/2 + y²/4 + zх²/2 + z²/4 + zу²/4 + z³/4)/(2xz - yz)
Теперь сделаем следующую подстановку:
a = х/2, b = y/2 и c = z/2
Подставим значения в выражение:
(3(2a)³/4 + (y/2)(z/2)²/2 + (y/2)²/4 + (z/2)(x/2)²/2 + (z/2)²/4 + (z/2)(y/2)²/4 + (z/2)³/4)/(2(x/2)(z/2) - (y/2)(z/2))
Упростим:
(3/4)(8a³ + yz²/4 + y²/4 + zx²/4 + z²/4 + zy²/4 + z³/4)/(xz - yz)
Очевидно, что 4 > 0, поэтому можем записать:
8a³ + yz²/4 + y²/4 + zx²/4 + z²/4 + zy²/4 + z³/4 > 0
Теперь рассмотрим выражение в числителе:
(8a³ + yz²/4 + y²/4 + zx²/4 + z²/4 + zy²/4 + z³/4)/(xz - yz) > 0/(xz - yz) = 0
Таким образом, мы получаем, что если хуz ≥ 1, то выражение в числителе будет больше нуля, что противоречит нашему предположению. Следовательно, хуz < 1.
Таким образом, мы доказали, что если выполнены неравенства 2х > у² + z², 2у > х² + z² и 2z > y² + x², то хуz < 1.