Числа p и q подобраны так, что парабола y=qx−x2 пересекает гиперболу xy=p в трёх различных точках a,b и c, причём сумма квадратов сторон треугольника abc равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. найдите произведение pq. ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. целую и дробную части разделяйте точкой. если возможных различных значений произведения pq окажется несколько, в ответе укажите их сумму.

pq = 54

Пошаговое объяснение:

Пусть точки пересечения имеют вид , и . Выразим через координаты то, что дано в условии.

Сумма квадратов сторон:

(a - сумма квадратов, b - сумма попарных произведений)

Расстояние от начала координат до точки пересечения медиан

Известно, что координаты точки пересечения медиан можно найти по формулам:

Тогда квадрат расстояния от начала координат до точки пересечения медиан, для удобства умноженный на 9, выражается так:

Получилась система линейных уравнений на a и b. Из неё 4b = 2 * 81 - 378 = -216, b = -54. Осталось выразить сумму попарных произведений, для этого понадобится немного преобразовать систему и вспомнить теорему Виета.

Умножаем уравнение параболы на x и заменяем xy на p, получается кубическое уравнение . Понятно, что найдя из этого уравнения x, потом по формуле y = p/x однозначно найдем y. Значит, , и - корни кубического уравнения. По теореме Виета сумма их попарных произведений равна коэффициенту при x, он равен нулю.

Умножаем уравнение параболы на , избавляемся от x и получаем . Аналогично, нужна сумма попарных произведений, она равна -pq.

Приравниваем: