Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Одна из сторон является высотой трапеции, так как трапеция прямоугольная. Обозначим ее h. Тогда раз сумма оснований равна 16 см, то вторая боковая сторона равна 16см-h. Из C можно провести перпендикуляр СС' на основание трапеции AD. AC' = 4 см, следовательно, C'D=12 см - 4 см = 8 см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CC'D. Для него выполняется соотношение CC'²+C'D²=CD². Подставим обозначенные ранее величины. h²+(8 см)²=(16 см - h)² h² - 32 см * h + 256 см² =h² + 64 см² 32 см * h = 256 см² - 64 см² h = 8 см - 2 см = 6 см Очевидно, что высота трапеции - это диаметр вписанной окружности. Поэтому радиус окружности равен r = h/2 = 3 см. S круга = πr² = 9π см².
A(x^2 + 1/x^2) - (a+1)(x + 1/x) + 5 = 0 1) При a = 0 будет -(x + 1/x) + 5 = 0 -x^2 + 5x - 1 = 0 x^2 - 5x + 1 = 0 D = 25 - 4 = 21 > 0 - уравнение имеет 2 корня, не подходит.
2) При а не = 0 делаем замену x + 1/x = y Заметим, что при x > 0 будет y >= 2; при x < 0 будет y <= -2. Причем y = 2 при x = 1 и y = -2 при x = -1. Тогда y^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2x*1/x + 1/x^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 То есть x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2. Подставляем a(y^2 - 2) - (a+1)*y + 5 = ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
3) Если это уравнение не имеет решений (D < 0), то и исходное тоже не имеет решений. ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0 D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 < 0 Решаем это неравенство, находим D для него. D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2 a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3 a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3 a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )
4) Если у этого уравнения есть корни, но они оба -2 < y < 2, то исходное уравнение тоже не имеет решений. ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0 D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 >= 0 Решаем точно также D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2 a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3 a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3 a ∈ (-oo; (3 - 2√2)/3 ) U ( (3 + 2√2)/3; +oo) Очевидно, что y1 < y2, поэтому нужно решить систему: Распадается на две системы
а) Если a < 0, то есть a < (3 - 2√2)/3 { 5a+1- √(9a^2-18a+1) > 0 { 1-3a+ √(9a^2-18a+1) < 0 Выделяем корни { √(9a^2-18a+1) < 5a + 1 { √(9a^2-18a+1) < 3a - 1 Если a < 0, то 3a - 1 < 0, арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет. б) Если a > 0, то есть a > (3 + 2√2)/3 { 5a+1- √(9a^2-18a+1) < 0 { 1-3a+ √(9a^2-18a+1) > 0 Выделяем корни { √(9a^2-18a+1) > 5a + 1 { √(9a^2-18a+1) > 3a - 1 Если a > 0, то 5a+1 > 3a-1, достаточно решить 1 неравенство. Возводим в квадрат. 9a^2-18a+1 > 25a^2 + 10a + 1 16a^2 + 28a < 0 4a(4a + 7) < 0 a ∈ (-7/4; 0) Но по условию a > 0, поэтому решений опять нет.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CC'D. Для него выполняется соотношение CC'²+C'D²=CD².
Подставим обозначенные ранее величины.
h²+(8 см)²=(16 см - h)²
h² - 32 см * h + 256 см² =h² + 64 см²
32 см * h = 256 см² - 64 см²
h = 8 см - 2 см = 6 см
Очевидно, что высота трапеции - это диаметр вписанной окружности. Поэтому радиус окружности равен r = h/2 = 3 см.
S круга = πr² = 9π см².
1) При a = 0 будет
-(x + 1/x) + 5 = 0
-x^2 + 5x - 1 = 0
x^2 - 5x + 1 = 0
D = 25 - 4 = 21 > 0 - уравнение имеет 2 корня, не подходит.
2) При а не = 0 делаем замену x + 1/x = y
Заметим, что при x > 0 будет y >= 2; при x < 0 будет y <= -2.
Причем y = 2 при x = 1 и y = -2 при x = -1. Тогда
y^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2x*1/x + 1/x^2 = x^2 + 1/x^2 + 2
То есть x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2. Подставляем
a(y^2 - 2) - (a+1)*y + 5 = ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
3) Если это уравнение не имеет решений (D < 0), то и исходное тоже не имеет решений.
ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 < 0
Решаем это неравенство, находим D для него.
D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2
a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3
a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3
a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )
4) Если у этого уравнения есть корни, но они оба -2 < y < 2, то исходное уравнение тоже не имеет решений.
ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 >= 0
Решаем точно также
D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2
a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3
a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3
a ∈ (-oo; (3 - 2√2)/3 ) U ( (3 + 2√2)/3; +oo)
Очевидно, что y1 < y2, поэтому нужно решить систему:
Распадается на две системы
а) Если a < 0, то есть a < (3 - 2√2)/3
{ 5a+1- √(9a^2-18a+1) > 0
{ 1-3a+ √(9a^2-18a+1) < 0
Выделяем корни
{ √(9a^2-18a+1) < 5a + 1
{ √(9a^2-18a+1) < 3a - 1
Если a < 0, то 3a - 1 < 0, арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
б) Если a > 0, то есть a > (3 + 2√2)/3
{ 5a+1- √(9a^2-18a+1) < 0
{ 1-3a+ √(9a^2-18a+1) > 0
Выделяем корни
{ √(9a^2-18a+1) > 5a + 1
{ √(9a^2-18a+1) > 3a - 1
Если a > 0, то 5a+1 > 3a-1, достаточно решить 1 неравенство.
Возводим в квадрат.
9a^2-18a+1 > 25a^2 + 10a + 1
16a^2 + 28a < 0
4a(4a + 7) < 0
a ∈ (-7/4; 0)
Но по условию a > 0, поэтому решений опять нет.
ответ: a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )