В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
azlidenp08oin
azlidenp08oin
13.11.2021 11:34 •  Математика

Число n равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на n . сколько таких натуральных n существует? (решение! )

Показать ответ
Ответ:
urmanovae1983
urmanovae1983
02.10.2020 06:22
 Запишем условие N=x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{200}\\ N_{1}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)*...(x_{200}+1)\\
где   x_{1};x_{2};x_{3}...x_{200} - простые числа  
По условия \frac{N_{1}}{N} \in C целое .  
Если все числа x_{1};x_{2}... будут действительно различные, то из выражения 
\frac{N_{1}}{N}= (1+\frac{1}{x_{1}})(1+\frac{1}{x_{2}})(1+\frac{1}{x_{3}})*...(1+\frac{1}{x_{200}}) с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них  будет множитель 2^{200},потому что x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1 уже четные числа. Запишем как  2^{200}*(\frac{a_{1}}{x_{1}})*(\frac{a_{2}}{x_{2}})*(\frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (\frac{a_{200}}{x_{200}}) так как a_{n} 
То следует что, числа в каждой дроби будут взаимно простые между собой.  
То есть не дадут целое числа в итоге, теперь рассмотрим случаи когда числа равные между собой, то есть предположим что среди них есть числа равные между собой . 
для начало положим что N=2^a*3^b*5^c
a+b+c=200 
откуда получаем , после преобразований 
3^{200-2b}*2^{b-2a+200}*5^{a+b-200} 
так как числа все простые , то есть не одно число не делится на другой без остатка , то 
 200-2b0\\
b-2a+2000\\
a+b-2000
откуда с последнего  неравенства, решения будут при целых a+b=201 то есть все числа должны давать в сумме 201 , но тогда c что не противоречит условию
Теперь увеличим наше число до 4 простых числа 
 2^a*3^b*5^c*13^d\\
a+b+c+d=200\\


так же после всех преобразований получаем 
c0\\a-b+c0\\-a-b-c+2000\\a+b+c-2000
 но отсюда так же следует что a+b+c200 что противоречит d0 
И теперь очевидно  для n взятого простого числа так же будет справедлива это тождество.

Теперь рассмотрим случай N=2^a*3^b\\
N_{1}=3^a*2^{2b}\\
\frac{N_{1}}{N} = \frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\\
a+b=200\\
3^{200-2b}*2^{3b-200}\\
200-2b0\\
3b-2000\\\\
b\frac{200}{3}
откуда   [ \frac{200}{3} ]= 66\\
100-66=33 решения 
ответ 33 

И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами 
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота