Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную формулу
,
для a = x1x2...xn или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:
Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.
Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:
Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:
;
Погрешность функции
Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.
Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента , имеющего известную предельную абсолютную погрешность . Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как
погрешность вычислительный приближенный функция
.
Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.
x0 << 1 и f(x0) << 1.
Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).
Погрешность функции нескольких переменных
Пусть y = f(x1, x2, …, xn) - приближенное значение функции от приближенных аргументов, , …, , которые имеют абсолютные ошибки , , …, .
Для определения используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :
,
где производная определяется по x1. Затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом :
.
В итоге искомая погрешность функции , определяется суммой всех частных ошибок:
.
Условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:
xi << 1 (i = ); f(x1, x2, …, xn) << 1.
Обратная задача теории погрешностей
Обратная задача теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.
Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида
.
все слагаемые из правой части принимаются равными:
Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом:
Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную формулу
,
для a = x1x2...xn или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:
Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.
Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:
Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:
;
Погрешность функции
Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.
Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента , имеющего известную предельную абсолютную погрешность . Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как
погрешность вычислительный приближенный функция
.
Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.
x0 << 1 и f(x0) << 1.
Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).
Погрешность функции нескольких переменных
Пусть y = f(x1, x2, …, xn) - приближенное значение функции от приближенных аргументов, , …, , которые имеют абсолютные ошибки , , …, .
Для определения используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :
,
где производная определяется по x1. Затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом :
.
В итоге искомая погрешность функции , определяется суммой всех частных ошибок:
.
Условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:
xi << 1 (i = ); f(x1, x2, …, xn) << 1.
Обратная задача теории погрешностей
Обратная задача теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.
Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида
.
все слагаемые из правой части принимаются равными:
Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом: