аиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический самый простой задания числовой последовательности. Это делают с формулы, выражающей -й член последовательности через его номер . Например, если, то , , , .Другой рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:, . (1)Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера (то, что неограниченно возрастает, записывается в виде и читается: « стремится к бесконечности»).Рассмотрим последовательность с общим членом : , , , …, , …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше , тем меньше отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.Другой пример: - определяет последовательность, , , , ….Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.Рассмотрим еще пример: . Если представить в виде, (2)то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.Дадим определение предела последовательности. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно указать такой номер , что при всех выполняется неравенство .Если есть предел последовательности , то пишут , или ( - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число в интервал (рис. 1). Число есть предел последовательности , если независимо от малости интервала все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко . Элементы называются членами последовательности, - первым, - вторым, - общим (-м) членом последовательности.
