Цилиндр описан около прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами длиной 8 см и 11 см.
Известно, что диагональ большей грани призмы образует с плоскостью основания угол величиной 45 градусов.
Определи площадь полной поверхности цилиндра
Чтобы определить площадь полной поверхности цилиндра, нам необходимо знать его характеристики, а именно:
- Радиус основания цилиндра (r);
- Высоту цилиндра (h).
Для начала рассмотрим основание призмы, которая описывает данный цилиндр. Основание прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 11 см. По теореме Пифагора, гипотенузу треугольника можно найти по формуле:
гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2.
Заменяем известные значения:
гипотенуза^2 = 8^2 + 11^2.
гипотенуза^2 = 64 + 121.
гипотенуза^2 = 185.
Чтобы найти гипотенузу, извлечем квадратный корень:
гипотенуза = √185.
гипотенуза ≈ 13,6 см.
Теперь будем искать радиус и высоту цилиндра. Диагональ большей грани призмы образует с плоскостью основания угол величиной 45 градусов, что дает нам информацию о соотношении сторон прямоугольника, образующих основание цилиндра.
Если мы нарисуем диаграмму секущей плоскости, то заметим, что диагональ большей грани является диаметром основания цилиндра. Таким образом, радиус цилиндра будет равен половине длины диагонали большей грани:
r = диагональ / 2.
r = 13,6 / 2.
r ≈ 6,8 см.
Теперь будет находить высоту цилиндра. По определению, высота цилиндра соответствует высоте призмы. С учетом того, что катеты прямоугольного треугольника являются высотой (катет 8 см) и основанием (катет 11 см), мы можем найти высоту по формуле Пифагора:
высота^2 = гипотенуза^2 - основание^2.
высота^2 = 13,6^2 - 11^2.
высота^2 = 184,96 - 121.
высота^2 = 63,96.
высота ≈ √63,96.
высота ≈ 7,99 см.
Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения площади полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади основания и площади боковой поверхности.
Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле площади прямоугольника:
Площадь основания = длина * ширина.
Площадь основания = 8 * 11.
Площадь основания = 88 см^2.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Площадь боковой поверхности = окружность * высота.
Площадь боковой поверхности = 2πr * h.
Заменяем известные значения:
Площадь боковой поверхности = 2 * 3.14 * 6.8 * 7.99.
Площадь боковой поверхности ≈ 428.49 см^2.
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:
Площадь полной поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности.
Площадь полной поверхности = 88 + 428.49.
Площадь полной поверхности ≈ 516.49 см^2.
Итак, площадь полной поверхности цилиндра составляет около 516.49 квадратных сантиметров.