Відповідь:
Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.
Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:
v' + 2y' = 0 (1)
y' = v (2)
Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):
v' + 2v = 0
Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:
dv/v = -2dx
Інтегруємо обидві частини:
ln|v| = -2x + C1
де C1 - це стала інтеграції.
Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:
ln|y'| = -2x + C1
Піднесемо обидві частини до експоненти:
|y'| = e^(-2x + C1)
Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:
y' = ±e^(-2x + C1)
Де C1 - це довільна константа.
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:
∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx
y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx
y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx
y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2
де C2 - це інша константа інтегрування.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:
y = ±Ce^(-2x) + D
де C = e^(C1) і D = C2.
Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.
Коли x = 0, ми маємо:
y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0
y'(0) = -2C = 1
Відсиюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.
Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±
Покрокове пояснення:
2 км/ч
Пошаговое объяснение:
100 минут = 100/60 = 5/3 часа
Собственная скорость лодки = 14 км/ч
Скорость лодки по течению = 14 + х = км/ч
Скорость лодки по течения = 14 - х км/ч
20/(14 + х) + 5/(14 - х) = 5/3 | * 3
60/(14 + х) + 15/(14 - х) = 5
60(14 - х) + 15(14 + х) = 5(14 + х)(14 - х)
840 - 60х + 210 + 15х = 5(196 - х²)
1050 - 45х = 980 - 5х²
5х² - 45х + 1050 - 980 = 0
5х² - 45х + 70 = 0 | : 5
х² - 9х + 14 = 0
Д = (-9)² - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25
√Д = √25 = 5
х1 = (9 - 5)/2 = 4/2 = 2
х2 = (9 + 5)/2 = 14/2 = 7 - не подходит
Скорость течения реки = 2 км/ч
Відповідь:
Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.
Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:
v' + 2y' = 0 (1)
y' = v (2)
Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):
v' + 2v = 0
Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:
dv/v = -2dx
Інтегруємо обидві частини:
ln|v| = -2x + C1
де C1 - це стала інтеграції.
Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:
ln|y'| = -2x + C1
Піднесемо обидві частини до експоненти:
|y'| = e^(-2x + C1)
Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:
y' = ±e^(-2x + C1)
Де C1 - це довільна константа.
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:
∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx
y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx
y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx
y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2
де C2 - це інша константа інтегрування.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:
y = ±Ce^(-2x) + D
де C = e^(C1) і D = C2.
Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.
Коли x = 0, ми маємо:
y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0
y'(0) = -2C = 1
Відсиюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.
Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±
Покрокове пояснення:
2 км/ч
Пошаговое объяснение:
100 минут = 100/60 = 5/3 часа
Собственная скорость лодки = 14 км/ч
Скорость лодки по течению = 14 + х = км/ч
Скорость лодки по течения = 14 - х км/ч
20/(14 + х) + 5/(14 - х) = 5/3 | * 3
60/(14 + х) + 15/(14 - х) = 5
60(14 - х) + 15(14 + х) = 5(14 + х)(14 - х)
840 - 60х + 210 + 15х = 5(196 - х²)
1050 - 45х = 980 - 5х²
5х² - 45х + 1050 - 980 = 0
5х² - 45х + 70 = 0 | : 5
х² - 9х + 14 = 0
Д = (-9)² - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25
√Д = √25 = 5
х1 = (9 - 5)/2 = 4/2 = 2
х2 = (9 + 5)/2 = 14/2 = 7 - не подходит
Скорость течения реки = 2 км/ч