Дан прямоугольник параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.а)Какой плоскости принадлежит диагональ A1C1 и вершина B?Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда этой плоскостью.б)Постройте прямую пересечения плоскостей(CAA1)и(D1AC).Как она расположена относительно грани(A1B1C1D1)?Относительно ребра A1A?в)Вычислите длину ребра CB и координаты MЄ AB,CM=BM, если C(6;1;-4),B(-8;-5;2).
Рассмотрим вектор AB, заданный координатами B(-8;-5;2) и A(0;0;0):
AB = (0 - (-8), 0 - (-5), 0 - 2) = (8, 5, -2).
Для того чтобы вектор AB был перпендикулярен вектору, задающему диагональ A1C1, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
AB * A1C1 = 0.
Вектор A1C1 задается координатами C(6;1;-4) и A(0;0;0):
A1C1 = (6 - 0, 1 - 0, -4 - 0) = (6, 1, -4).
Теперь найдем скалярное произведение:
AB * A1C1 = 8 * 6 + 5 * 1 + (-2) * (-4) = 48 + 5 + 8 = 61.
Уравнение AB * A1C1 = 0 будет иметь вид:
61 = 0.
Так как данное уравнение не выполняется, то векторы AB и A1C1 не являются перпендикулярными. То есть диагональ A1C1 не принадлежит плоскости, проходящей через вершину B.
б) Построим прямую пересечения плоскостей (CAA1) и (D1AC). Для этого найдем точки пересечения этих плоскостей.
Плоскость (CAA1) задается точками C(6;1;-4), A(0;0;0) и A1(0;0;10):
Вектор, задающий плоскость (CAA1), будет являться векторным произведением векторов AC и AA1. Найдем эти векторы:
AC = (6 - 0, 1 - 0, -4 - 0) = (6, 1, -4),
AA1 = (0 - 0, 0 - 0, 10 - 0) = (0, 0, 10).
Теперь найдем векторное произведение:
v = AC × AA1,
v = (6, 1, -4) × (0, 0, 10).
Найдем координаты вектора v по формулам для векторного произведения:
v = (y1 * z2 - y2 * z1, z1 * x2 - z2 * x1, x1 * y2 - x2 * y1)
v = (1 * 10 - 0 * (-4), -4 * 0 - 6 * 10, 6 * 0 - 1 * 0)
v = (10, -60, 0).
Таким образом, вектор, задающий плоскость (CAA1), имеет вид v = (10, -60, 0).
Плоскость (D1AC) задается точками D1(8;0;0), A(0;0;0) и C(6;1;-4):
Аналогично, найдем вектор, задающий эту плоскость. Векторы DC и DA равны соответственно:
DC = (8 - 6, 0 - 1, 0 - (-4)) = (2, -1, 4),
DA = (0 - 0, 0 - 0, 6 - 0) = (0, 0, 6).
Вычисляем векторное произведение:
w = DC × DA,
w = (2, -1, 4) × (0, 0, 6).
Координаты вектора w:
w = (y1 * z2 - y2 * z1, z1 * x2 - z2 * x1, x1 * y2 - x2 * y1)
w = (-1 * 6 - 0 * 4, 4 * 0 - 2 * 6, 2 * 0 - (-1) * 0)
w = (-6, -12, 0).
Вектор, задающий плоскость (D1AC), равен w = (-6, -12, 0).
Найдем точку пересечения этих плоскостей:
Для этого решим систему уравнений:
С = A + αv,
С = D1 + βw,
где α и β - параметры.
Распишем систему уравнений:
6 = 0 + α * 10,
1 = 0 - α * 60,
-4 = 0 + α * 0,
8 = 0 + β * (-6),
0 = 0 + β * (-12),
0 = 0 + β * 0.
Из третьего уравнения следует, что α = 0. Тогда из первого уравнения следует, что 6 = 0, что не выполняется. Значит, система уравнений несовместна и плоскости (CAA1) и (D1AC) не имеют точек пересечения.
в) Чтобы вычислить длину ребра CB, найдем длины отрезков CB и CA, а затем применим теорему Пифагора для треугольника CBA.
Координаты точек C(6;1;-4) и B(-8;-5;2) даны. Для нахождения длин отрезков CB и CA воспользуемся формулой:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),
где d - длина отрезка, (x1, y1, z1) - координаты первой точки, (x2, y2, z2) - координаты второй точки.
Вычислим длину отрезка CB:
CB = √((-8 - 6)^2 + (-5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2)
CB = √((-14)^2 + (-6)^2 + (6)^2)
CB = √(196 + 36 + 36)
CB = √268
CB ≈ 16.37.
Теперь вычислим координаты точки M на отрезке AB так, чтобы CM = BM.
Пусть координаты точки M(x, y, z), тогда мы можем записать систему уравнений:
CM = BM,
√((x - 6)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-4))^2) = √((x + 8)^2 + (y + 5)^2 + (z - 2)^2).
Возводим обе части уравнения в квадрат и раскрываем скобки:
(x - 6)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = (x + 8)^2 + (y + 5)^2 + (z - 2)^2.
Раскрываем скобки:
x^2 - 12x + 36 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 8z + 16 = x^2 + 16x + 64 + y^2 + 10y + 25 + z^2 - 4z + 4.
Сокращаем одинаковые слагаемые:
-12x - 2y + 8z = 16x + 10y - 4z + 57.
Сортируем слагаемые:
-12x - 16x + 10y + 2y + 8z + 4z = 57.
Сокращаем:
-28x + 12y + 12z = 57.
Таким образом, получаем уравнение для координат точки M: -28x + 12y + 12z = 57.
Таким образом, длина ребра CB составляет примерно 16.37, а координаты точки M(х, y, z) удовлетворяют уравнению -28х + 12у +12z = 57.