Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренного треугольника, а также о свойствах описанной окружности.
1. Свойства равнобедренного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, прилегающего к основанию, является высотой и медианой одновременно.
- Основание треугольника делит биссектрису на две равные части.
- Биссектриса угла, прилегающего к основанию, перпендикулярна к основанию и проходит через центр описанной окружности.
- Биссектриса угла, прилегающего к основанию, является симметричной осью равнобедренного треугольника.
2. Свойства описанной окружности:
- Описанная окружность равнобедренного треугольника проходит через вершины треугольника и центр описанной окружности лежит на симметричной оси равнобедренного треугольника.
- Радиус описанной окружности равен половине длины основания равнобедренного треугольника.
Теперь решим задачу:
Известно, что основание равнобедренного треугольника AB=8 см, а высота треугольника BH=4 см. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла, прилегающего к основанию, является симметричной осью равнобедренного треугольника. Значит, биссектриса HB также является высотой и медианой треугольника ABC.
Поскольку HB является медианой треугольника ABC, то она делит основание AC на две равные части. Так как AB=BC, то AC=2*AB=2*8=16 см. Значит, длина отрезков AH и HC равна 16/2=8 см.
Теперь рассмотрим треугольник HBH'. По свойству перпендикулярных линий, линия HH' перпендикулярна к горизонтальному отрезку BH.
Так как HB=HB' (по свойству равнобедренного треугольника) и BH=4 см, то треугольники HBH' и BCH являются равными (по двум катетам).
Значит, HC=HH'=8 см.
Теперь рассмотрим треугольник АСН, где HN - высота, проведенная из вершины А на основание AC.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АСН: AH^2 + HC^2 = AC^2.
Передадим значения: AH=8 см и HC=8 см.
Подставим значения в формулу:
8^2 + 8^2 = AC^2.
64 + 64 = AC^2.
128 = AC^2.
√128 = AC.
Раскладываем число 128 на простые множители: 128 = 2^7.
Сокращаем корень с радикала: √2^7 = 2^3√2.
Таким образом, AC = 8√2 см.
Определим радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине длины основания.
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC равен AC/2 = 8√2/2 = 4√2 см.
Ответ: Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC равен 4√2 см.
1. Свойства равнобедренного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, прилегающего к основанию, является высотой и медианой одновременно.
- Основание треугольника делит биссектрису на две равные части.
- Биссектриса угла, прилегающего к основанию, перпендикулярна к основанию и проходит через центр описанной окружности.
- Биссектриса угла, прилегающего к основанию, является симметричной осью равнобедренного треугольника.
2. Свойства описанной окружности:
- Описанная окружность равнобедренного треугольника проходит через вершины треугольника и центр описанной окружности лежит на симметричной оси равнобедренного треугольника.
- Радиус описанной окружности равен половине длины основания равнобедренного треугольника.
Теперь решим задачу:
Известно, что основание равнобедренного треугольника AB=8 см, а высота треугольника BH=4 см. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла, прилегающего к основанию, является симметричной осью равнобедренного треугольника. Значит, биссектриса HB также является высотой и медианой треугольника ABC.
Поскольку HB является медианой треугольника ABC, то она делит основание AC на две равные части. Так как AB=BC, то AC=2*AB=2*8=16 см. Значит, длина отрезков AH и HC равна 16/2=8 см.
Теперь рассмотрим треугольник HBH'. По свойству перпендикулярных линий, линия HH' перпендикулярна к горизонтальному отрезку BH.
Так как HB=HB' (по свойству равнобедренного треугольника) и BH=4 см, то треугольники HBH' и BCH являются равными (по двум катетам).
Значит, HC=HH'=8 см.
Теперь рассмотрим треугольник АСН, где HN - высота, проведенная из вершины А на основание AC.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АСН: AH^2 + HC^2 = AC^2.
Передадим значения: AH=8 см и HC=8 см.
Подставим значения в формулу:
8^2 + 8^2 = AC^2.
64 + 64 = AC^2.
128 = AC^2.
√128 = AC.
Раскладываем число 128 на простые множители: 128 = 2^7.
Сокращаем корень с радикала: √2^7 = 2^3√2.
Таким образом, AC = 8√2 см.
Определим радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине длины основания.
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC равен AC/2 = 8√2/2 = 4√2 см.
Ответ: Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC равен 4√2 см.