Хорошо, давайте начнем с определения производной функции. Производная функции описывает, как быстро меняется функция в каждой точке.
Первый шаг - выразить данную функцию f(z) в виде суммы двух слагаемых:
f(z) = 7z + 6/z
Разобьем функцию на две составляющие: первая - 7z и вторая - 6/z.
Теперь мы можем вычислить производные каждого из этих слагаемых по отдельности.
Для первой составляющей 7z мы просто применяем правило производной для линейной функции: если у нас есть функция вида f(x) = ax, где a - константа, то производная этой функции равна a. В данном случае a = 7, поэтому производная первой составляющей будет равна 7.
Теперь рассмотрим вторую составляющую 6/z. Чтобы найти производную этой функции, мы можем воспользоваться правилом производной для функции вида f(x) = 1/x. По этому правилу, производная f(x) = 1/x равна -1/x^2. В данном случае, наше значение x равно z, поэтому производная второй составляющей будет равна -6/z^2.
Теперь нам нужно просуммировать производные каждой составляющей.
Сумма производных будет равна:
7 + (-6/z^2) = 7 - 6/z^2
Теперь мы можем найти значение производной в точке z0 = 1 + 2i, подставив это значение в выражение для производной:
Первый шаг - выразить данную функцию f(z) в виде суммы двух слагаемых:
f(z) = 7z + 6/z
Разобьем функцию на две составляющие: первая - 7z и вторая - 6/z.
Теперь мы можем вычислить производные каждого из этих слагаемых по отдельности.
Для первой составляющей 7z мы просто применяем правило производной для линейной функции: если у нас есть функция вида f(x) = ax, где a - константа, то производная этой функции равна a. В данном случае a = 7, поэтому производная первой составляющей будет равна 7.
Теперь рассмотрим вторую составляющую 6/z. Чтобы найти производную этой функции, мы можем воспользоваться правилом производной для функции вида f(x) = 1/x. По этому правилу, производная f(x) = 1/x равна -1/x^2. В данном случае, наше значение x равно z, поэтому производная второй составляющей будет равна -6/z^2.
Теперь нам нужно просуммировать производные каждой составляющей.
Сумма производных будет равна:
7 + (-6/z^2) = 7 - 6/z^2
Теперь мы можем найти значение производной в точке z0 = 1 + 2i, подставив это значение в выражение для производной:
7 - 6/(1 + 2i)^2
Используем свойство вычисления квадрата комплексного числа:
(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2(1)(2i) + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2
Заметим, что i^2 = -1, поэтому:
1 + 4i + 4(-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i
Подставим это значение в выражение для производной:
7 - 6/(-3 + 4i)
Чтобы разделить дробь на комплексное число, нам нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:
7(-3 - 4i) - 6(-3 + 4i)/((-3 + 4i)(-3 - 4i))
Упростим числитель:
-21 - 28i + 18 - 24i / (-3)^2 - (4i)^2
-3 - 52i / 9 + 16
Теперь можем делить числитель на знаменатель:
(-3 - 52i) / 25
И это будет конечный ответ. Теперь производная функции f(z) в точке z0 = 1 + 2i равна (-3 - 52i) / 25.