Дана правильная шестиугольная пирамида sabcdef с вершиной s.
пусть k— точка пересечения этой плоскости с ребром sc. найдите угол между прямой bk и плоскостью asb, если ab: as=1: 2.

В правильной шестиугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.

Примем ребро основания за 1, боковое ребро - 2.

Находим высоту пирамиды: Н = √(2² - 1²) = √3.

Половина высоты равна √3/2.

Расстояние от ребра АВ до высоты пирамиды равно 1*cos 30° = √3/2.

То есть секущая плоскость (а с ней и отрезок ВК) имеют угол наклона к основанию 45 градусов.

Сделаем осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру АВ.

В сечении равнобедренный треугольник PST, боковые стороны которого PS и ST равны апофеме А.

А= √((√3/2)² + Н²) = √((3/4+ 3) = √(15/4) = √15/2.

Если отрезок ВК перенести  точкой В в точку Р, то угол SPM и будет искомым углом φ между прямой BK и плоскостью ASB.

Отрезок РМ = (√3/2)*√2 = √6/2.

cos φ = )(6/4) + (15/4) - (3/4))/(2*(√6/2)*(√15/2)) = 3√10/10.

φ = arc cos(3√10/10) = 0,32175 радиан = 18,435 градуса.

Векторное решение подтверждает этот результат.

Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n

Скалярное произведение = 0,75    

s = {l; m; n}  0,433012702 0,75 0,866025404

Модуль =√1,5 =  1,224744871.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:  A B C  

sin fi = 0,316227766  

  Ax + By + Cz + D = 0  

0,866025404 1,5 -0,866025404 Модуль 1,936491673

fi = 0,321750554 радиан

  =   18,43494882 градус .