ДАНО: Y = 2*x³ - 6*x
ИССЛЕДОВАТЬ.
1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
2. Пересечение с осью Х.
Y = 2*x*(x²-3) = 2*x(x-√3)*(x+√3) = 0
Y=0 при х₁ = - √3, Х₂ = 0, Х₃ = √3
Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).
3. Пересечение с осью У. У(0) = 0.
4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞ limY(+∞) = +∞
5. Исследование на чётность.Y(-x) = - 2*x³+6*x = - Y(x),
Функция нечётная.
6. Производная функции.Y'(x)= 6*x² -6 = 6*(x-1)(x+1).
Корни при Х₁= 1, Х₂ = -1 Схема знаков производной.
(-∞)__(>0)__(-1)___(<0)___(1)__(>0)_____(+∞)
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(-1)= 4 , минимум – Ymin(1) = - 4.
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает - Х∈[-∞; -1]∪[1;+∞), убывает = Х∈(-1; 1).
8. Вторая производная - Y"(x) = 12*x =0.
Корень производной - точка перегиба Y"(x)= 0.
9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 0), Вогнутая – «ложка» Х∈(0; +∞).
10. График в приложении.
ДАНО: Y= - x⁴ + 2*x²
ИССЛЕДОВАТЬ с производных.
ДУМАЕМ силой разума - это парабола четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - ветви вниз.
РЕШЕНИЕ
Y = - x²*(x² -2) = - x²*(x - √2)*(x + √2) - формула - разность квадратов.
1. Область определения - x∈R, X∈(-∞;+∞).
Вывод - непрерывная, разрывов - нет, вертикальных асимптот - нет.
И сразу ВИДИМ четыре корня функции.
2. Пересечение с осью Х - в корнях функции: х₁,₂ = 0, х₃ = -√2, х₄ =√2
(на график)
Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Х∈(-∞;-√2)∪(√2;+∞)
Положительна: Х∈(-√2;0)∪(0;√2)
3. Первая производная - поиск локальных экстремумов.
Y'(x) = - 4*x³ + 4*x = -4*x*(x²-4) = -4*x(x-1)*(x+1) = 0.
Видим три корня производной: х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.
Это уже кубическая функция и тоже с отрицательным коэффициентом.
Схема знаков: (-∞) >0 (-1) <0 (0) >0 (1) <0 (+∞) - это надо видеть.
4. Локальные экстремумы и монотонность.
Максимум: Y(-1) = 1, минимум: Y(0) = 0, максимум: Y(+1) = 1 - (на график)
Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) и убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)
5. Вторая производная поиск точек перегиба.
Y"(x) = -12*x²+ 4 = 0. x = +/- 1/√3 = +/- √3/3 ≈ 0.58
6. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞; -0.58)∪(0.58;+∞)
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-0,58;0,58) - между корнями Y"(x).
ДАНО: Y = 2*x³ - 6*x
ИССЛЕДОВАТЬ.
1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
2. Пересечение с осью Х.
Y = 2*x*(x²-3) = 2*x(x-√3)*(x+√3) = 0
Y=0 при х₁ = - √3, Х₂ = 0, Х₃ = √3
Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).
3. Пересечение с осью У. У(0) = 0.
4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞ limY(+∞) = +∞
5. Исследование на чётность.Y(-x) = - 2*x³+6*x = - Y(x),
Функция нечётная.
6. Производная функции.Y'(x)= 6*x² -6 = 6*(x-1)(x+1).
Корни при Х₁= 1, Х₂ = -1 Схема знаков производной.
(-∞)__(>0)__(-1)___(<0)___(1)__(>0)_____(+∞)
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(-1)= 4 , минимум – Ymin(1) = - 4.
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает - Х∈[-∞; -1]∪[1;+∞), убывает = Х∈(-1; 1).
8. Вторая производная - Y"(x) = 12*x =0.
Корень производной - точка перегиба Y"(x)= 0.
9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 0), Вогнутая – «ложка» Х∈(0; +∞).
10. График в приложении.
ДАНО: Y= - x⁴ + 2*x²
ИССЛЕДОВАТЬ с производных.
ДУМАЕМ силой разума - это парабола четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - ветви вниз.
РЕШЕНИЕ
Y = - x²*(x² -2) = - x²*(x - √2)*(x + √2) - формула - разность квадратов.
1. Область определения - x∈R, X∈(-∞;+∞).
Вывод - непрерывная, разрывов - нет, вертикальных асимптот - нет.
И сразу ВИДИМ четыре корня функции.
2. Пересечение с осью Х - в корнях функции: х₁,₂ = 0, х₃ = -√2, х₄ =√2
(на график)
Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Х∈(-∞;-√2)∪(√2;+∞)
Положительна: Х∈(-√2;0)∪(0;√2)
3. Первая производная - поиск локальных экстремумов.
Y'(x) = - 4*x³ + 4*x = -4*x*(x²-4) = -4*x(x-1)*(x+1) = 0.
Видим три корня производной: х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.
Это уже кубическая функция и тоже с отрицательным коэффициентом.
Схема знаков: (-∞) >0 (-1) <0 (0) >0 (1) <0 (+∞) - это надо видеть.
4. Локальные экстремумы и монотонность.
Максимум: Y(-1) = 1, минимум: Y(0) = 0, максимум: Y(+1) = 1 - (на график)
Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) и убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)
5. Вторая производная поиск точек перегиба.
Y"(x) = -12*x²+ 4 = 0. x = +/- 1/√3 = +/- √3/3 ≈ 0.58
6. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞; -0.58)∪(0.58;+∞)
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-0,58;0,58) - между корнями Y"(x).